記北師版八上數(shù)學(xué)教材第二張第二節(jié)《平方根》
課本上關(guān)于本課設(shè)置了兩個課時內(nèi)容，第一課時為“算術(shù)平方根”，第二課時為“平方根”。實際教學(xué)中用了三個課時，前兩課時依照課本授課，第三課時為習(xí)題課，作拓展提高。
第一課時
思考1：
教材從內(nèi)容的連貫性（承接第一章勾股定理、前一課夾逼法中正方形面積與邊長關(guān)系“”）和學(xué)生理解的難易程度（算術(shù)平方根易，平方根難）出發(fā)，安排第一課時學(xué)習(xí)算術(shù)平方根，第二課時平方根。但在實際教學(xué)中，要求一個數(shù)的算術(shù)平方根或平方根，學(xué)生的第一反應(yīng)往往都是“誰的平方等于這個數(shù)”。例如“求 144的平方根”，學(xué)生常常張口就是12，再仔細一想，“哦，是±12”。出現(xiàn)這樣的問題，主要原因是學(xué)生對平方根和算術(shù)平方根的概念區(qū)別不清，對二者的關(guān)系分辨不明。
為此，在第一課時引入時，筆者設(shè)計了以下引入
引例1意圖：?
引導(dǎo)學(xué)生區(qū)別兩道小題的不同。說明在涉及圖形邊長問題時，邊長＞0是重要的隱含條件。已知a2=4，滿足條件的a有兩個，為±2。已知正方形面積等于4，則邊長等于2，只有一個答案。這兩道題既有相同點，也有不同之處。2為±2其中之一。此處暗中滲透算術(shù)平方根與平方根區(qū)別、聯(lián)系。
引例2意圖： 承接引例1.連續(xù)構(gòu)造直角三角形。由勾股定理得x2=2,y2=3,z2=4,w2=4，這里x、y、z、w為正數(shù)，我們把平方為2的那個正數(shù)記作√2，同理得√3, √4=2，√5. 把√2，√3,? 2，√5分別就叫做2, 3,4,5的算數(shù)平方根。
思考2：
課本上關(guān)于“算術(shù)平方根”的定義如下：
教材編排從圖形的邊長出發(fā)，而邊長大于0，因此特別規(guī)定了√0=0. 事實上02=0,0=√0,完全符合定義。算術(shù)平方根不止和圖形邊長有關(guān)，更是一個重要的代數(shù)概念。從代數(shù)的角度看，算術(shù)平方根可以按如下方式定義：
思考3：
“算術(shù)平方根”這一課時的教學(xué)目標為：掌握算術(shù)平方根的定義，會求一個數(shù)的算術(shù)平方根以及理解算術(shù)平方根的雙重非負性。
因此例題設(shè)置如下：
實際課堂板書：
第二課時：
反思：
關(guān)于例1：本題書寫過程與前一課求算術(shù)平方根類似。應(yīng)強調(diào)等號兩邊符號的一致性。當(dāng)要求算術(shù)平方根時，“=”兩邊默認都是正號；當(dāng)要求平方根時，“=”兩邊都是“±”，切不可一邊有“±”而一邊沒有。
關(guān)于例2:? 對于形如ax2+b=c這樣的一元二次方程，可仿照一元一次方程的解題步驟——移項、合并同類項、系數(shù)化為1。在“系數(shù)化為1”時，由于方程當(dāng)中沒有對x的正負做特殊限定，故x為“一個數(shù)”（非“一個正數(shù)”），符合平方根定義，所以最后一步實為求一個數(shù)的平方根（即今后要學(xué)習(xí)的用直接開方法求1元2次方程的解）
第三課時：
意圖：感受數(shù)學(xué)中語句敘述順序顛倒造成的不同結(jié)果。為例1做好鋪墊。
關(guān)于例1：M有平方根，有學(xué)生想到M≥0，要分類討論。這種思維的嚴謹性值得肯定！但是再仔細思考：當(dāng)M=0時，兩平方根為0和0，而0+0=0，這是符合“M>0時，兩平方根互為相反數(shù)”（兩個數(shù)相加和為零）的，因此不用分類討論。
緊接著有一道變式訓(xùn)練：
絕大部分學(xué)生看到題目后的反應(yīng)是比較迷茫的，因為題目和例1十分相像，好像沒什么區(qū)別。這時可以先引導(dǎo)學(xué)生完成下列填空。
上題共有4種填法，而這四種方法又可以分為兩類——互為相反數(shù)和兩數(shù)相等。例1變式也可仿照這樣分類。
例2.
由計算結(jié)果引導(dǎo)學(xué)生歸納公式。
其中（√a）2=a，學(xué)生可以用正方形的邊長與面積關(guān)系解釋，也可以用開平方與平方為互逆運算解釋。這時教師提出問題：√a2=|a|中，為什么√a2的平方與開平方?jīng)]有相互抵消等于a？
這個問題對于學(xué)生而言是比較困難的。教師可以點撥：因為兩個式子中a的取值范圍不同。
最外層的運算無論是算術(shù)平方根還是平方，都要求結(jié)果非負?！蘟2中，a為任意數(shù)，因此如果要加絕對值才能保證“非負”。而（√a）2中a作為被開方數(shù)非負，因此結(jié)果是a本身。
學(xué)以致用：
課堂板書：
