運(yùn)動(dòng)學(xué)考題中的地標(biāo)：2011年高考物理新課標(biāo)全國卷題24

2011年新課標(biāo)全國卷題24

24.（13分）甲乙兩輛汽車都從靜止出發(fā)做加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度方向一直不變，在第一段時(shí)間間隔內(nèi)，兩輛汽車的加速度大小不變，汽車乙的加速度大小是甲的兩倍；在接下來的相同時(shí)間間隔內(nèi)，汽車甲的加速度大小增加為原來的兩倍，汽車乙的加速度大小減小為原來的一半。求甲乙兩車各自在這兩段時(shí)間間隔內(nèi)走過的總路程之比。

v-t 圖

【解法一】

以A、B分別代表甲和乙。

汽車甲在第一階段的加速度可以記作 a_0

a_{_{A1}}=a_0,\quad a_{_{A2}}=2a_0

a_{_{B1}}=2a_0,\quad a_{_{A2}}=a_0

在第一階段末的速度：
v_{_{A1}}=a_0 T,\quad v_{_{B1}}=2 a_0 T

在第二階段末的速度：
v_{_{A2}}=a_0 T + 2 a_0 T = 3 a_0 T,
v_{_{B2}}=2 a_0 T + a_0 T = 3 a_0 T

在第一階段的位移：

s_{_{A1}}=\dfrac{1}{2} v_{_{A1}} T = \dfrac{1}{2} a_0 T^2

s_{_{B1}}=\dfrac{1}{2} v_{_{B1}} T = \dfrac{1}{2} \cdot 2 a_0 T^2= a_0 T^2

在第二階段的位移：

s_{_{A2}}=\dfrac{1}{2} (v_{_{A1}} + v_{_{A2}}) T = 2 a_0 T^2

s_{_{B2}}=\dfrac{1}{2} (v_{_{B1}} + v_{_{B2}}) T = \dfrac{5}{2} a_0 T^2

總位移：

s_{_A}= s_{_{A1}} + s_{_{A2}} = \dfrac{5}{2} a_0 T^2

s_{_B}= s_{_{B1}} + s_{_{B2}} = \dfrac{7}{2} a_0 T^2

∴ s_{_A}:s_{_B}=5:7

甲乙兩車做直線運(yùn)動(dòng)，加速度方向、速度方向一直向前。所以，甲乙兩車的路程比也等于 5:7

【解法二】

與解法一相同，以A、B分別代表甲和乙。

汽車甲在第一階段的加速度可以記作 a_0

第一階段是初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其位移分別為：

s_{_{A1}}=\dfrac{1}{2} a_0 T^2

s_{_{B1}}=\dfrac{1}{2} \cdot (2 a_0) \cdot T^2= a_0 T^2

在第一階段末，兩車的速度分別為：

v_{_{A1}}=a_0 T

v_{_{B1}}=2 a_0 T

第一階段末的速度即為第二階段的初速度；所以在第二階段的位移分別為：

s_{_{A2}}=v_{_{A1}} T + \dfrac{1}{2} \cdot (2a_0) T^2=2 a_0 T^2

s_{_{B2}}=v_{_{B1}} T + \dfrac{1}{2} \cdot a_0 T^2=\dfrac{5}{2} a_0 T^2

s_{_A}= s_{_{A1}} + s_{_{A2}} = \dfrac{5}{2} a_0 T^2

s_{_B}= s_{_{B1}} + s_{_{B2}} = \dfrac{7}{2} a_0 T^2

∴ s_{_A}:s_{_B}=5:7

【提煉與提高】

本題難度不高，但卻用到了運(yùn)動(dòng)學(xué)的幾個(gè)公式：

初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)：

\boxed{v_t=a \cdot t}

\boxed{s_t=\dfrac{1}{2} a t^2}

\boxed{s_t=\dfrac{1}{2} \cdot v \cdot t}

初速度非0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)：

\boxed{v_t=v_0 + at}

\boxed{s_t=v_0 t + \dfrac{1}{2} a t^2}

\boxed{s_t=\dfrac{1}{2}(v_0+v_t)t}

后面我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：如果能用好這組公式，有一些難度較高的所謂“壓軸題”也就能夠解決。

俗話說：萬丈高樓從地起。這個(gè)早期的高考題，能幫助我們熟悉勻速直線運(yùn)動(dòng)的主要公式，同時(shí)也體現(xiàn)了 v-t 圖的用法，可以稱為『地標(biāo)性考題』。請務(wù)必牢記。

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