隨機(jī)變量和隨機(jī)事件的區(qū)別

• 隨機(jī)事件是樣本點(diǎn)的集合
• 隨機(jī)變量是將每個(gè)樣本點(diǎn)映射成了一個(gè)唯一確定的數(shù)，廣義上講是隨機(jī)現(xiàn)象各種可能結(jié)果的變量。

離散型隨機(jī)變量

• 隨機(jī)變量的值是有限多個(gè)，或者是無(wú)限可數(shù)個(gè)。
• 無(wú)限可數(shù)： 能和自然數(shù)集一一對(duì)應(yīng)的集合，雖然數(shù)目無(wú)限，但是每一個(gè)特定的元素都對(duì)應(yīng)一個(gè)自然數(shù)。
• 離散型隨機(jī)變量要滿足兩個(gè)條件，設(shè)隨機(jī)變量X可能取值為a₁.....a_n（1）P(X=a_i) >=0；（2）P(X=a₁) + .....+ P(X=a_n)=1

重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)

• 每次實(shí)驗(yàn)彼此獨(dú)立
• 每個(gè)事件的P在每次實(shí)驗(yàn)中不變
• 伯努利實(shí)驗(yàn)：只有兩種結(jié)果的重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)

兩點(diǎn)分布

只進(jìn)行一次伯努利實(shí)驗(yàn)，結(jié)果只有兩種，也叫伯努利分布

二項(xiàng)分布

• n次伯努利實(shí)驗(yàn)，A發(fā)生的概率為p，計(jì)算A出現(xiàn)k次的概率，(k=0,1,....k,....n)。
• A出現(xiàn)k次的概率記為B(k,n,p)，其中k代表k次，n代表總共進(jìn)行n次實(shí)驗(yàn)，p代表每次實(shí)驗(yàn)A發(fā)生的概率。同時(shí)，每次實(shí)驗(yàn)A不發(fā)生的概率為q。
• B(k,n,p)=(C_n^k)p^kq^n-k
• B(0,n,p)+B(1,n,p)+....+B(k,n,p)+...+B(n,n,p) = (C_n⁰)p⁰qⁿ +.....+ (C_nⁿ)pⁿq^n-n = (p+q)ⁿ = 1.
  這個(gè)式子中間兩步的轉(zhuǎn)化是依據(jù)二項(xiàng)式定理，因此稱這種分布為二項(xiàng)分布。

• 二項(xiàng)式定理：

• 二項(xiàng)分布，n=100，p=0.9時(shí)，B(k,100,0.9)隨著k的變化曲線：
• n和p固定，B(k,n,p)的最大值稱為當(dāng)前n和p的中心項(xiàng)，取最大值時(shí)的k稱為最可能成功次數(shù)。
  例題： 射擊，500發(fā)子彈，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率是0.01，求最可能命中目標(biāo)多少次。
  典型的二項(xiàng)分布，求的是n=500，q=0.01時(shí)的曲線最高點(diǎn)。

泊松分布

• X=k時(shí)，滿足概率P(X=k) = (λ^k / k!)e^-k形式的分布為泊松分布。
• 分布律 （λ > 0）

• 泊松分布逼近二項(xiàng)分布：在n次伯努利實(shí)驗(yàn)中，P表示每次實(shí)驗(yàn)A出現(xiàn)的概率，若n×p→λ，則n→∞時(shí)，則B(k,n,p)→(λ^k / k!)e^-k。這里要求n遠(yuǎn)大于p，這樣n×p的結(jié)果大小始終。
• 泊松分布和二項(xiàng)分布的X的取值都是可數(shù)的，具體來(lái)說(shuō)分為兩種情況：（1）有限個(gè)（一定可數(shù)）；（2）無(wú)限可數(shù)。

分布函數(shù)

• 連續(xù)函數(shù)不能使用分布律，因?yàn)辄c(diǎn)的個(gè)數(shù)不可數(shù)，而且連續(xù)函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)概率為0。
• X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，F(xiàn)(x)=P{X ≤ x} 為X的分布函數(shù)。
• 性質(zhì)：（1）F(x)單調(diào)不減；（2）0 ≤ F(x) ≤ 0，F(xiàn)(-∞)=0，F(xiàn)(∞)=1；（3）F(x+0)=F(x) ，即右連續(xù)，F(xiàn)(x+0)代表在x這個(gè)點(diǎn)F(x)的右極限，左極限為F(x-0)。

連續(xù)型隨機(jī)變量

• 隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(X)，如果存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使

  則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。

• 對(duì)于?x，P(X=x)=0。在[0,1]區(qū)間內(nèi)，取到任意一個(gè)點(diǎn)的概率為0，只有取到某個(gè)范圍才有具體的概率。
• 改變概率密度函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的值不會(huì)影響分布函數(shù)的取值。

約定：提到概率分布時(shí)，離散型對(duì)應(yīng)分布律，連續(xù)型對(duì)應(yīng)概率密度

均勻分布

• 均勻：等可能性

• 密度函數(shù)如下的分布為均勻分布。

• 分布函數(shù)

  
  

指數(shù)分布

• 密度函數(shù)

• 分布函數(shù)
• 無(wú)記憶性：P{X > s + t | X > s} = P{ X > t }
  指數(shù)分布是唯一具有無(wú)記憶性的連續(xù)型隨機(jī)變量分布。

幾何分布

正態(tài)分布

• 密度函數(shù)：

• 圖像：

  在x=μ處，密度函數(shù)f(x)取得最大值。

• μ=0，σ=1時(shí)，X~N(0,1)，此時(shí)正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為φ(x)，分布函數(shù)Φ(x)。
• 令X~N(μ,φ)，令Y=(X-μ)/σ ，P(X≤Y)=Φ(X)，可見Y~N(0,1)。
• Φ(-x) = 1 - Φ(x)
• 3σ法則：P{ μ - 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ } = 0.9973.
• 分位點(diǎn)：求P{X ≥ α}，則稱α為上α分位點(diǎn)。因?yàn)檫@個(gè)概率求的是≥ α后的圖像面積。

隨機(jī)變量的函數(shù)的分布