自然的，才是最美的。你看我們眼前的“自然界”紛紜復雜、包羅萬象，但背后的規(guī)律卻簡潔而優(yōu)美。

當我們評價人或事物時，如果說其美是自然之美，那就是最高的評價。

在數(shù)學中也一樣，“自然底數(shù)e”被譽為最美的常數(shù)，它的美在于“自然”。

“自然底數(shù)e”的神奇之處在于，它的表達式看起來極其復雜，讓人眼花繚亂，望而生畏，但是用它做底數(shù)的“自然對數(shù)”，在計算過程中卻變得簡潔而優(yōu)美。

先讓我們來看看“自然底數(shù)e”的表達式長什么樣：e = lim_{n→∞} (1 + 1/n)^n 。

看起來是否有點令人望而生畏？

這個表達式所描述的是數(shù)列{(1+1/n)^n}在n趨于“正無窮”時的“極限值”，其近似值約為2.718281828，屬于“無理數(shù)”。

這才是耐人尋味的地方：使計算變得簡潔的底數(shù)不是2，也不是10，而是一個復雜的“無理數(shù)”。

它以本身的繁瑣，換來了處理問題過程中的簡潔。

這種復雜背后的簡潔之美，是如此的迷人。這正是人類的先行者在遙遠的古希臘時期，就已經(jīng)在追尋的“自然之美”。

早在兩千多年前的古希臘，被譽為“科學之祖”的泰勒斯擺脫了“神學”的羈絆，作為多神論者的他，開始將眼光投向大自然本身。

這在一個“神學”占絕對統(tǒng)治地位的荒蕪時代來說，對傳統(tǒng)觀念的顛覆，無疑是破冰之舉。

他的學生畢達哥拉斯繼承并發(fā)揚了這一觀點，他帶領他的學生們，在沙灘上用石子擺各種“數(shù)列”，提出“萬物皆數(shù)”的觀點，試圖用“數(shù)”取代“神”的地位，向大自然去尋找規(guī)律。這使得人類文明走向了正確的康莊大道。

時間飛逝，轉眼來到了1618年，納皮爾在他的“對數(shù)”著作附錄中，記下了一個與e極為近似的值。這是 e 在數(shù)學的歷史中第一次現(xiàn)身。

時間慢慢地流淌著，一轉眼，半個世紀過去了。

1683年，雅格布.伯努利在研究復利問題時，無意之間發(fā)現(xiàn)了e的無窮魅力。

他發(fā)現(xiàn)，如果一筆錢以年利率100%計算復利，并且利滾利的周期不斷縮短（從一年到半年、一月、一日……直到連續(xù)計算），最終的本息和會趨近于一個“極限值”。

甚至他本人都沒有察覺，他已在無意之中擰動了“潘多拉盒”的蓋子。

他發(fā)現(xiàn)了一個用極限表達的常數(shù)e： lim_{n→∞} (1 + 1/n)^n。他確認在他所研究的金融問題里，存在著一個介于2和3之間的常數(shù)。

這時，他“遇見了e”，但沒有認識它！

時間繼續(xù)向前流淌著，一眨眼，半個世紀又過去了。

1736年，歐拉在他的著作《力學》中，開始使用字母 e 來表示這個常數(shù)。

他使用了 e 的級數(shù)展開式：e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ......，通過這個公式，他計算出了 e 的近似值，并且精確到了小數(shù)點后的18位。

歐拉確定了 e 在“分析學”中的核心地位，特別是“指數(shù)函數(shù) e^x” 和“自然對數(shù)”的優(yōu)美性質。

1748年，歐拉在他的著作《無窮小分析引論》中，正式發(fā)表并推廣了現(xiàn)在被稱為“歐拉公式”的定理 e^（iθ）=cosθ+isinθ。

當θ=π時，進一步簡化成e^(iπ) + 1 = 0。

這就是傳說中被譽為“上帝公式”的歐拉恒等式 ，他的魅力在于，將 e、π、i、1 和 0 這五個最重要的數(shù)學“常數(shù)”統(tǒng)一在一個極其簡潔的公式里。

后來，人們進一步確定了e的性質：

首先，通過嚴格的證明，e 是一個無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）。

更進一步，它還是一個“超越數(shù)”（不是任何“整系數(shù)”代數(shù)方程的根）。這意味著無法通過尺規(guī)作圖畫出長度為 e 的線段。

還有，人們發(fā)現(xiàn)，“指數(shù)函數(shù)e^x”的斜率等于其“函數(shù)值”。

在“常數(shù)界”，e 的出現(xiàn)頻率非常高，因為它與“變化率”和“增長”有著深刻的聯(lián)系。

而歐拉公式 e^(iθ) = cosθ + i sinθ 更是讓 e 在“復變函數(shù)”中處于核心地位。

后來，人們在研究“素數(shù)分布規(guī)律”時，發(fā)現(xiàn)小于數(shù)字 x 的素數(shù)的個數(shù)，大約為 x / ln(x)。

你看！在這里，人們驚訝地發(fā)現(xiàn)，上千年來令數(shù)學家們頭疼的“素數(shù)分布規(guī)律”，居然與e有關。

在微積分中，e的核心地位更是不可替代，無論如何求導，被稱為不倒翁：函數(shù) y = e^x 的導數(shù)（變化率）是其自身。

e的神奇之處在于，它不同于其它的“底數(shù)”都是人們發(fā)明出來方便使用的，但唯有e作為底數(shù)是被發(fā)現(xiàn)的。

不光在數(shù)學里有這些神奇的魅力，當我們將目光投向大自然，e的魅力無處不在。

在大自然里，蜜蜂的蜂巢構造、鸚鵡螺的貝殼螺線……這些都是大自然體現(xiàn)e神奇魅力的杰作。

在現(xiàn)代科學中，e的魅力更像是一壺老酒，持續(xù)發(fā)酵，香氣四溢，令人沉醉其中。

當人們要描述一個在理想環(huán)境下（食物、空間無限）的細菌種群時，會發(fā)現(xiàn)其數(shù)量增長規(guī)律就是 dP/dt = kP。

而這個方程的解，就是一個以e為底的“指數(shù)函數(shù)”。其生長（或衰變）的“速率”與當前“數(shù)量”成正比。而且，這一模式在自然界中普遍存在。

比如在物理學中，人們發(fā)現(xiàn)原子核的衰變“速率”正比于現(xiàn)存的“數(shù)量”，同樣以e為底的“指數(shù)”衰減，因而可以據(jù)此定義“半衰期”。

再比如牛頓冷卻定律，人們發(fā)現(xiàn)，一個物體的冷卻“速率”，與環(huán)境的溫差成正比，而且其“溫度變化”的函數(shù)，也包含e。

當我們回過頭來看一看e在數(shù)學史上的歷程，驚訝地發(fā)現(xiàn)，e的“自然”之美，在于它并非人為創(chuàng)造，而是大自然在“連續(xù)變化”時，“大自然本身”所作的選擇。

“自然底數(shù)e”的美，是宇宙簡潔而優(yōu)美的又一明證。