線(xiàn)性回歸網(wǎng)絡(luò)
在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)0：線(xiàn)性邏輯回歸理論實(shí)現(xiàn)章節(jié)，我們通過(guò)對(duì)y = wx+b的預(yù)測(cè)，實(shí)現(xiàn)了一個(gè)最簡(jiǎn)單的線(xiàn)性回歸模型；線(xiàn)性回歸模型也是最簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，只有一個(gè)輸入?yún)?shù)，一個(gè)神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)和一個(gè)輸出參數(shù)
神經(jīng)元（Neurons），它是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本單元。神經(jīng)元先獲得輸入，然后執(zhí)行某些數(shù)學(xué)運(yùn)算后，再產(chǎn)生一個(gè)輸出。
在這個(gè)神經(jīng)元中，輸入總共經(jīng)歷了2步數(shù)學(xué)運(yùn)算
先將一個(gè)輸入乘以權(quán)重（weight）：
x→x × w，
再加上一個(gè)偏置（bias）：
x × w+b
得到最后的結(jié)果：y = x × w+b
這算是最簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)了，只有一個(gè)神經(jīng)元，并且沒(méi)有激活函數(shù)對(duì)其進(jìn)行處理（因?yàn)檩敵鰕是連續(xù)的情況下，輸出層的激活函數(shù)可以使用線(xiàn)性函數(shù)y = x)
接下來(lái)，我們將根據(jù)一組真實(shí)的的場(chǎng)景數(shù)據(jù)，搭建一個(gè)具備兩個(gè)神經(jīng)元的網(wǎng)絡(luò)
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)方法
我們有以上身高，體重，和性別數(shù)據(jù)，接下來(lái)將搭建一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，能夠根據(jù)輸入的體重和身高，預(yù)測(cè)該群眾屬于什么性別
基本模塊搭建-神經(jīng)元
神經(jīng)元（Neurons），它是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本單元。神經(jīng)元先獲得輸入，然后執(zhí)行某些數(shù)學(xué)運(yùn)算后，再產(chǎn)生一個(gè)輸出。以下是一個(gè)2輸入神經(jīng)元的例子：
在這個(gè)神經(jīng)元中，輸入總共經(jīng)歷了3步數(shù)學(xué)運(yùn)算，
先將兩個(gè)輸入乘以權(quán)重（weight）：
x1→x1 × w1
x2→x2 × w2
把兩個(gè)結(jié)果想加，再加上一個(gè)偏置（bias）：
（x1 × w1）+（x2 × w2）+ b
上式的線(xiàn)性輸出區(qū)間為整個(gè)實(shí)數(shù)范圍，而我們預(yù)測(cè)要求輸出范圍在[0,1]之間，所以還需要使用激活函數(shù)對(duì)上式的線(xiàn)性函數(shù)輸出進(jìn)行處理(之所以使用激活函數(shù)，是因?yàn)樯砀吆腕w重的的數(shù)據(jù)范圍是不一樣的，如果直接使用原始的數(shù)據(jù)輸出，那么他們對(duì)性別的影響程度的影響程度將是不一樣的；上文中，我們直接將身高和體重直接減去一個(gè)固定值，也是相當(dāng)于使用了一個(gè)激活函數(shù)，只不過(guò)這個(gè)激活函數(shù)是線(xiàn)性的(y = x - b)，實(shí)際使用中，需要使用非線(xiàn)性函數(shù)對(duì)每個(gè)神經(jīng)元的輸出進(jìn)行修正, 關(guān)于激活函數(shù)我們?yōu)樵趩为?dú)的章節(jié)中進(jìn)行討論)
y = f(x1 × w1 + x2 × w2 + b)
一種常用的激活函數(shù)是sigmoid函數(shù)：
sigmoid函數(shù)的輸出介于0和1，我們可以理解為它把 (?∞,+∞) 范圍內(nèi)的數(shù)壓縮到 (0, 1)以?xún)?nèi)。正值越大輸出越接近1，負(fù)向數(shù)值越大輸出越接近0
為了計(jì)算方便，我們將輸入值統(tǒng)一減去一個(gè)常量：（因?yàn)楫?dāng)輸出值很大的時(shí)候，激活函數(shù)的斜率（梯度）很小。因此，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，梯度下降算法會(huì)運(yùn)行得比較慢。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)盡量避免是的輸出落在這個(gè)區(qū)域，使輸出盡可能限定在零值附近，從而提高梯度下降算法運(yùn)算速度）
舉個(gè)例子，上面神經(jīng)元里的權(quán)重和偏置取如下數(shù)值：
w=[0,1]
b = 4
w=[0,1]是w1=0、w2=1的向量形式寫(xiě)法。給神經(jīng)元一個(gè)輸入（張二的身高體重?cái)?shù)據(jù)）x=[27,17]，可以用向量點(diǎn)積的形式把神經(jīng)元的輸出計(jì)算出來(lái)：
w·x+b =（x1 × w1）+（x2 × w2）+ b = 0×27+1×17+4=21
y=f(w?X+b)=f(21)=0.9999999992417439
以上步驟的Python代碼是：
imort numpy as np
def sigmoid(x):
# Our activation function: f(x) = 1 / (1 + e^(-x))
return 1 / (1 + np.exp(-x))
class Neuron:
def __init__(self, weights, bias):
self.weights = weights
self.bias = bias
def feedforward(self, inputs):
# Weight inputs, add bias, then use the activation function
total = np.dot(self.weights, inputs) + self.bias
print("total:",total)
return sigmoid(total)
weights = np.array([0, 1]) # w1 = 0, w2 = 1
bias = 4 # b = 4
n = Neuron(weights, bias)
x = np.array([133, 165]) #
print(n.feedforward(x)) # 1
搭建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就是把一堆神經(jīng)元連接在一起，下面是一個(gè)根據(jù)我們的數(shù)據(jù)搭建的簡(jiǎn)單神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的：
這個(gè)網(wǎng)絡(luò)有2個(gè)輸入(分別代表身高和年齡)、一個(gè)包含2個(gè)神經(jīng)元的隱藏層（h1和h2）、包含1個(gè)神經(jīng)元的輸出層o1。
隱藏層是夾在輸入輸入層和輸出層之間的部分，一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以有多個(gè)隱藏層；把神經(jīng)元的輸入向前傳遞獲得輸出的過(guò)程稱(chēng)為前饋（feedforward）
我們假設(shè)上面的網(wǎng)絡(luò)里所有神經(jīng)元都具有相同的權(quán)重w=[0,1]和偏置b=0，激活函數(shù)都是sigmoid，那么我們會(huì)得到什么輸出呢？
h1=h2=f(w?x+b)=f((0×133)+(1×165)+0)
=f(165)
=1.0
o1=f(w?[h1,h2]+b)=f((0?h1)+(1?h2)+0)
=f(1.0)
=0.7310
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sun Apr 5 22:35:35 2020
@author: Administrator
"""
import numpy as np
def sigmoid(x):
# Our activation function: f(x) = 1 / (1 + e^(-x))
return 1 / (1 + np.exp(-x))
#--------create Neuron-----------
class Neuron:
def __init__(self, weights, bias):
self.weights = weights
self.bias = bias
def feedforward(self, inputs):
# Weight inputs, add bias, then use the activation function
total = np.dot(self.weights, inputs) + self.bias
print("total:",total)
return sigmoid(total)
weights = np.array([0, 1]) # w1 = 0, w2 = 1
bias = 4 # b = 4
n = Neuron(weights, bias)
x = np.array([133, 165]) #
print("Neuron:", n.feedforward(x)) #
#--------create NeuronNetwork-----------
class OurNeuralNetwork:
'''
A neural network with:
- 2 inputs
- a hidden layer with 2 neurons (h1, h2)
- an output layer with 1 neuron (o1)
Each neuron has the same weights and bias:
- w = [0, 1]
- b = 0
'''
def __init__(self):
weights = np.array([0, 1])
bias = 0
# The Neuron class here is from the previous section
self.h1 = Neuron(weights, bias)
self.h2 = Neuron(weights, bias)
self.o1 = Neuron(weights, bias)
def feedforward(self, x):
out_h1 = self.h1.feedforward(x)
out_h2 = self.h2.feedforward(x)
# The inputs for o1 are the outputs from h1 and h2
out_o1 = self.o1.feedforward(np.array([out_h1, out_h2]))
return out_o1
network = OurNeuralNetwork()
x = np.array([133, 165])
print(network.feedforward(x)) # 0.7310585786300049
訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了如何搭建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，現(xiàn)在我們來(lái)學(xué)習(xí)如何訓(xùn)練它。
- 準(zhǔn)備數(shù)據(jù)
我們要訓(xùn)練的數(shù)據(jù)如下（性別男用1表示，女用0表示）：
- 確定要使用的損失函數(shù)
在訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之前，我們需要有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)定義它到底好不好，以便我們進(jìn)行改進(jìn)，這就是損失（loss）。
- 求各個(gè)權(quán)重和偏置的偏導(dǎo)數(shù)
在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)： 線(xiàn)性回歸理論實(shí)現(xiàn)章節(jié)我們已經(jīng)討論過(guò)損失函數(shù)的意義，如果要使得損失函數(shù)求得最小值，我們需要運(yùn)用梯度下降法不斷更新各個(gè)變量的值，直到達(dá)到穩(wěn)定：
而在我們現(xiàn)在的場(chǎng)景中，損失函數(shù)是包含以下九個(gè)變量的函數(shù)，不過(guò)都符合以上變量更新公式
因此為了迭代更新L，使得其值不斷減小，我們需要求出各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)。
在求各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)之前，我們先求出，在輸入值x = [x0,x1] = [weight,height]已知的情況下，各個(gè)神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)的輸出表達(dá)公式; 因?yàn)檫@些表達(dá)式，在計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的時(shí)候會(huì)用到
各個(gè)神經(jīng)元的輸出表達(dá)式：
上文已經(jīng)說(shuō)過(guò)，每個(gè)神經(jīng)元的輸出，都需要經(jīng)過(guò)激活函數(shù)的轉(zhuǎn)換處理，將其中從[-∞，∞]轉(zhuǎn)換到[0,1],已符合我們的值的輸出預(yù)期
在f(x)的基礎(chǔ)上，我們可以求出
以上計(jì)算過(guò)程中，各個(gè)神經(jīng)元的輸入等于各個(gè)前一層神經(jīng)元的加權(quán)和，這個(gè)過(guò)程被稱(chēng)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前饋過(guò)程
各個(gè)神經(jīng)元的偏導(dǎo)數(shù)
已知損失函數(shù)的表達(dá)式如下：
其中，N表示樣本數(shù)據(jù)的大小，當(dāng)我們對(duì)單個(gè)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算損失函數(shù)時(shí)，其表達(dá)式為：
我們先求得求得L對(duì)ypred的導(dǎo)數(shù)：
根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則：
因此，如果要求得各個(gè)變量參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，我們從后向前求總各個(gè)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：
這種從后之前求各個(gè)神經(jīng)元上輸入變量的的偏導(dǎo)數(shù)的過(guò)程，稱(chēng)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的后饋過(guò)程
- 梯度下降更新每個(gè)權(quán)重和偏置
通過(guò)以上公式，求出所有權(quán)重和偏置后，就可以通過(guò)梯度下降法，更新每個(gè)權(quán)重和偏置
總結(jié)下訓(xùn)練過(guò)程：
1、從數(shù)據(jù)集中選擇一個(gè)樣本；
2、確定和定義要使用的損失函數(shù)
3、計(jì)算每個(gè)神經(jīng)元的輸出表達(dá)式，并計(jì)算損失函數(shù)對(duì)所有權(quán)重和偏置的偏導(dǎo)數(shù)；
4、使用更新公式更新每個(gè)權(quán)重和偏置；
5、回到第1步。
實(shí)現(xiàn)代碼為：
import numpy as np
#激活函數(shù)
def sigmoid(x):
# Our activation function: f(x) = 1 / (1 + e^(-x))
return 1 / (1 + np.exp(-x))
#激活函數(shù)求導(dǎo)
def deriv_sigmoid(x):
fx = sigmoid(x)
return fx * (1 - fx)
#損失函數(shù)
def mse_loss(y_pred, y_true):
return ((y_pred - y_true) ** 2).mean()
#--------create NeuronNetwork-----------
# Define dataset
data = np.array([
[0, 0],
[27, 17],
[19, 12],
[-13, -13],
[27, 10],
[-13, 0],
])
all_y_trues = np.array([
0,
1,
1,
0,
1,
0,
])
class OurNeuralNetwork:
'''
A neural network with:
- 2 inputs
- a hidden layer with 2 neurons (h1, h2)
- an output layer with 1 neuron (o1)
*** DISCLAIMER ***:
The code below is intended to be simple and educational, NOT optimal.
Real neural net code looks nothing like this. DO NOT use this code.
Instead, read/run it to understand how this specific network works.
'''
def __init__(self):
# Weights
self.w1 = np.random.normal()
self.w2 = np.random.normal()
self.w3 = np.random.normal()
self.w4 = np.random.normal()
self.w5 = np.random.normal()
self.w6 = np.random.normal()
# Biases
self.b1 = np.random.normal()
self.b2 = np.random.normal()
self.b3 = np.random.normal()
self.epochs = []
self.losses = []
def setFeatures(self, w1,w2,w3,w4,w5,w6,b1,b2,b3):
# Weights
self.w1 = w1
self.w2 = w2
self.w3 = w3
self.w4 = w4
self.w5 = w5
self.w6 = w6
# Biases
self.b1 = b1
self.b2 = b2
self.b3 =b3
def feedforward(self, x):
# x is a numpy array with 2 elements.
h1 = sigmoid(self.w1 * x[0] + self.w2 * x[1] + self.b1)
h2 = sigmoid(self.w3 * x[0] + self.w4 * x[1] + self.b2)
o1 = sigmoid(self.w5 * h1 + self.w6 * h2 + self.b3)
return o1
def train(self, data, all_y_trues):
'''
- data is a (n x 2) numpy array, n = # of samples in the dataset.
- all_y_trues is a numpy array with n elements.
Elements in all_y_trues correspond to those in data.
'''
learn_rate = 0.1
epochs = 1000 # number of times to loop through the entire dataset
for epoch in range(epochs):
for x, y_true in zip(data, all_y_trues):
# --- Do a feedforward (we'll need these values later)
sum_h1 = self.w1 * x[0] + self.w2 * x[1] + self.b1
h1 = sigmoid(sum_h1)
sum_h2 = self.w3 * x[0] + self.w4 * x[1] + self.b2
h2 = sigmoid(sum_h2)
sum_o1 = self.w5 * h1 + self.w6 * h2 + self.b3
o1 = sigmoid(sum_o1)
y_pred = o1
# --- Calculate partial derivatives.
# --- Naming: d_L_d_w1 represents "partial L / partial w1"
d_L_d_ypred = 2 * (y_pred - y_true)
# Neuron o1
d_ypred_d_w5 = h1 * deriv_sigmoid(sum_o1)
d_ypred_d_w6 = h2 * deriv_sigmoid(sum_o1)
d_ypred_d_b3 = deriv_sigmoid(sum_o1)
d_ypred_d_h1 = self.w5 * deriv_sigmoid(sum_o1)
d_ypred_d_h2 = self.w6 * deriv_sigmoid(sum_o1)
# Neuron h1
d_h1_d_w1 = x[0] * deriv_sigmoid(sum_h1)
d_h1_d_w2 = x[1] * deriv_sigmoid(sum_h1)
d_h1_d_b1 = deriv_sigmoid(sum_h1)
# Neuron h2
d_h2_d_w3 = x[0] * deriv_sigmoid(sum_h2)
d_h2_d_w4 = x[1] * deriv_sigmoid(sum_h2)
d_h2_d_b2 = deriv_sigmoid(sum_h2)
# --- Update weights and biases
# Neuron h1
self.w1 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_w1
self.w2 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_w2
self.b1 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_b1
# Neuron h2
self.w3 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h2 * d_h2_d_w3
self.w4 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h2 * d_h2_d_w4
self.b2 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h2 * d_h2_d_b2
# Neuron o1
self.w5 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_w5
self.w6 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_w6
self.b3 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_b3
# --- Calculate total loss at the end of each epoch
if epoch % 100 == 0:
#操作數(shù)據(jù)的列方向,x[0] = [133,160,152,...] x[1] = [165,182,177]
y_preds = np.apply_along_axis(self.feedforward, 1, data)
loss = mse_loss(y_preds, all_y_trues)
self.epochs.append(epoch)
self.losses.append(loss)
print("Epoch %d loss: %.3f" % (epoch, loss))
# Train our neural network!
network = OurNeuralNetwork()
network.train(data, all_y_trues)
損失函數(shù)收斂曲線(xiàn)：
用訓(xùn)練的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)：
# Make some predictions
emily = np.array([47, 11]) #
frank = np.array([-23, -5]) #
print("Emily: %.3f" % network.feedforward(emily)) # 0.951 - F
print("Frank: %.3f" % network.feedforward(frank)) # 0.039 - M
Emily: 0.957
Frank: 0.030
待梳理的內(nèi)容
- 對(duì)數(shù)據(jù)的預(yù)處理能夠極大的改進(jìn)你的模型，使得訓(xùn)練的結(jié)果更符合預(yù)期
- 損失函數(shù)和激活函數(shù)的選擇
