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$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 本征值問題和久期方程

$\bullet$ 在任意時刻，剛體的方向可由正交變換來表示。時間的演進(jìn)會導(dǎo)致剛體方向的變化，所以它的變換矩陣該是一個隨時間變化的函數(shù) $\rm{R}(t)$ ，由于剛體的實際轉(zhuǎn)動是連續(xù)的，所以 $\rm{R}(t)$ 也必須是一個連續(xù)的函數(shù)。在初始時刻 $t = 0$ ，可將剛體局部參考系原點選擇與全局參考系原點重合，則有 $\rm{R}(0) = \rm{I}$ 。

$\bullet$ 歐拉剛體運(yùn)動定理（Euler’s theorem on the motion of a rigid body）描述了剛體運(yùn)動的重要特征，它指出，

對于基點固定的剛體（不考慮平動），它的一般運(yùn)動都可以分解為繞某個轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動。

由于轉(zhuǎn)軸不會因為剛體轉(zhuǎn)動而發(fā)生改變，任何矢量在沿轉(zhuǎn)軸方向的分量在轉(zhuǎn)動前后都將保持不變。因此，如果能證明存在某矢量 $\mathbf{G}$ ，它沿轉(zhuǎn)軸的分量在變換前后兩個參考系內(nèi)均不變，即

$\mathbf{G}^{\prime} = \rm{R}\mathbf{G} = \mathbf{G}\\$

而

$\mathbf{G}^{\prime} = \rm{R}\mathbf{G} = \lambda\mathbf{G}\\$

于是，

$\lambda = +1\\$

歐拉定理的等價闡述：

對于一個基點固定的剛體，用來表示其實際運(yùn)動的實正交矩陣必須至少含有一個等于 $+1$ 的本征值

因此，需要首先解決本征值問題，本征方程可以寫為

$\begin{align*} \mathbf{G}\rm{R} &= \lambda\rm{I}\mathbf{G}\\(\rm{R} - \lambda \rm{I})\mathbf{G} &= \mathbf{0}\end{align*}\\$

或者寫成展開式

$\begin{bmatrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} - \lambda\end{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y \\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\0 \end{pmatrix}\\$

$\begin{align*}(a_{11} - \lambda ) x + a_{12}y + a_{13}z = 0\\a_{21}x + (a_{22} - \lambda)y + a_{23}z = 0\\a_{31}x + a_{32}y + (a_{33} - \lambda)z = 0\end{align*}\\$

滿足本征方程的本征空間也是矩陣 $\rm{R} - \lambda \rm{I}$ 的零空間。若存在解，根據(jù)維度定理，零空間非空，那么矩陣 $\rm{R} - \lambda \rm{I}$ 的秩必定小于維度數(shù)，即列空間必定呈線性依賴，所以行列式

$|\rm{R} - \lambda \rm{I}| = \mathbf{0}\\$

$\begin{vmatrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} - \lambda\end{vmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \\$

被稱為矩陣的特征方程（characteristic equation）或久期方程（secular equation）。

如同上述的久期方程通常有 $3$ 個根，即三個本征值，對應(yīng) $3$ 個本征矢量。

所以歐拉定理要求，正交矩陣久期方程的解必須含有根 $\lambda = +1$ 。

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 記號

$\bullet$ 將矢量的三個分量 $x,y,z$ 記為 $x_1,x_2,x_3$

$\bullet$ 對于本征矢，將分量記為 $x_{ik}$ ，指標(biāo) $i$ 表示特定方向的分量， $k$ 表示與之唯一對應(yīng)的本征值

使用上述記號，本征方程可被寫成

$\sum_j a_{ij}x_{jk} = \lambda_{k}x_{ik}\\$

（注意：等式右側(cè)不觸發(fā)求和約定，出現(xiàn)加和的地方已用加和符號表示）

或者

$\sum_j a_{ij}x_{jk} = \sum_j x_{ij}\delta_{jk} \lambda_k \\$

用矩陣表示

$\rm{R}\mathrm{G} = \mathrm{G} \boldsymbol{\lambda}\\$

$\implies \boldsymbol{\lambda} = \rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G}\\$

其中 $\boldsymbol{\lambda}$ 是一個對角方陣， $\rm{G}$ 是一個方陣，方陣中的每一列都是一個本征矢，變換矩陣 $\rm{R}$ 的對角化矩陣 $\boldsymbol{\lambda}$ 中每一個對角矩陣元則是相應(yīng)的本征值。

$\mathrm{\mathbf{I\!I\!I}.}$ 歐拉定理證明

已知關(guān)系式

$(\rm{R} - \rm{I})\rm{R}^{t} = \rm{I} - \rm{R}^{t}\\$

對等式兩邊求行列式

$|\rm{R} - \rm{I}| \cdot |\rm{R}^t| = |\rm{I} - \rm{R}^t| \\$

因為轉(zhuǎn)動矩陣 $\rm{R}$ 屬于常規(guī)變換

$|\rm{R}^t| = |\rm{R}| = 1\\$

所以

$|\rm{R} - \rm{I}| = |\rm{I} - \rm{R}|\\$

令 $\rm{A} = \rm{R} - \rm{I}$ ，上述關(guān)系表明，矩陣 $\rm{A}$ 的行列式與其負(fù)矩陣的行列式相等，即

$|\rm{A}| = |-\rm{A}|\\$

如果矩陣 $\rm{A}$ 是一個 $n \times n$ 方陣，根據(jù)行列式特性

$|\rm{A}| = (-1)^n|\rm{A}|\\$

$\bullet$ 對于任何奇數(shù)維度，如 $n = 3$

$|\rm{A}| = -|\rm{A}|\\$ $\implies |\rm{A}| = |\rm{R} - \rm{I}| = 0\\$

所以三維空間的轉(zhuǎn)動矩陣 $\rm{R}$ 必然至少有一個本征值是等于 $+1$ 的

$\bullet$ 對于任何偶數(shù)維度，如 $n = 2$

$|\rm{A}| = (-1)^2|\rm{A}| = |\rm{A}|\\$

將無法得到 $\lambda = +1$ 的結(jié)論，故歐拉定理失效。

所以，二維平面內(nèi)不存在歐拉定理。因為當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動時，任何位于平面內(nèi)的矢量均會發(fā)生改變，唯有沿轉(zhuǎn)軸的矢量不發(fā)生改變，但此時它與平面垂直，并不在平面內(nèi)。

$\mathrm{\mathbf{V\!I.}}$ 本征值的特點

對于轉(zhuǎn)動矩陣 $\rm{R}$

$\begin{align*}\rm{R}^{\prime} &= \rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G}\\\rm{G}\rm{R}^{\prime} &= \rm{G}\rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G}\\ \end{align*} \\$

對等式兩邊求行列式

$|\rm{G}|\cdot |\rm{R}^{\prime}| = |\rm{R}| \cdot |\rm{G}|\\$

$\implies |\rm{R}^{\prime}| = |\rm{R}| \\$

可見，其行列式不會因為相似變換（similarity transformation）而改變。

于是，

$|\rm{R}^{\prime}| = |\rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G}| = |\boldsymbol{\lambda}| = \lambda_1\lambda_2\lambda_3 = |\rm{R}|\\$

根據(jù)歐拉定理，已知其中一個本征值必須為 $+1$ 。

令 $\lambda_3 = +1$ ，則有

$|\rm{R}| = \lambda_1\lambda_2 = +1\\$

剩余兩個本征值的乘積等于一

$\bullet$ 因為 $\rm{R}$ 是個實矩陣，久期方程的任何復(fù)數(shù)根都將以成對的方式出現(xiàn)。所以，如果 $\lambda$ 是滿足久期方程的一個根，它的復(fù)共軛 $\lambda^{\ast}$ 也將同樣滿足方程。

$\bullet$ 如果本征值 $\lambda_i$ 是一個復(fù)數(shù)，那么其對應(yīng)的本征矢量同樣將是一個復(fù)矢量。

復(fù)矢量的長度可以記為

$\mathbf{r}^2 = \mathbf{r}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}^{\ast} = \mathbf{r}^t\mathbf{r^{\ast}}\\$

我們知道，一個矢量的長度在正交變換下是一個不變量

$\begin{align*}(\mathbf{r}^{\prime})^t(\mathbf{r}^{\prime})^{\ast} &= (\rm{R}\mathbf{r})^t(\rm{R}\mathbf{r})^{\ast}\\&= \mathbf{r}^t\rm{R}^t\rm{R}\mathbf{r}^{\ast}\\&= \mathbf{r}^t\rm{R}^{-1}\rm{R}\mathbf{r}^{\ast}\\&= \mathbf{r}^{t}\mathbf{r}^{\ast}\end{align*}\\$

此時，若 $\mathbf{r}$ 是一個屬于轉(zhuǎn)動矩陣 $\rm{R}$ 的復(fù)本征值 $\lambda$ 的本征矢，則有

$\rm{R}\mathbf{r} = \lambda\mathbf{r}\\$

于是

$\begin{align*} (\mathbf{r} ^{\prime})^t(\mathbf{r}^{\prime})^{\ast} &= (\rm{R}\mathbf{r})^t(\rm{R}\mathbf{r})^{\ast}\\&= \lambda\lambda^{\ast} \mathbf{r}^t \mathbf{r}^{\ast}\\&= \mathbf{r}^t \mathbf{r}^{\ast}\end{align*} \\$

$\implies \lambda\lambda^{\ast} = 1\\$

可見，轉(zhuǎn)動矩陣 $\rm{R}$ 的所有本征值均具有單位長度。

由此，可以得出矩陣 $\rm{R}$ 本征值的所有可能的分布情況：

（1）所有本征值均為實數(shù) $+1$ ，于是 $\rm{R}^{\prime} = \rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G} =\boldsymbol{\lambda} = \rm{I} = \rm{R}(0)$ ，剛體將保持零時刻的方向，最平凡的情況。

（2）一個本征值為實數(shù) $+1$ ，另外兩個均為實數(shù) $-1$ 。該情況對應(yīng)的轉(zhuǎn)動變換是兩個坐標(biāo)的反演，最后一個坐標(biāo)則保持不變。它是剛體關(guān)于保持不變的那條坐標(biāo)軸的 $\pi$ 弧度轉(zhuǎn)動。

（3）一個本征值為實數(shù) $+1$ ，另外兩個為一組共軛復(fù)數(shù)，具有形式： $e^{i\Phi}$ ， $e^{-i\Phi}$ 。

所以，歐拉定理的更完整陳述為：

任何常規(guī)非平凡實正交矩陣有且僅有一個等于 $+1$ 的本征值。

$\rm{\mathbf{V.}}$ 轉(zhuǎn)角的計算

$\bullet$ 剛體轉(zhuǎn)軸的方向余弦可通過將 $\lambda = +1$ 代入本征方程然后求本征矢得到。

$\bullet$ 使用相似變換，可以尋找到一組新的正交基，使得剛體的轉(zhuǎn)軸與 $z$ -軸重合，這樣一來，得到的轉(zhuǎn)動矩陣

$\rm{R}^ {\prime} = \begin{bmatrix}\cos\Phi & \sin\Phi & 0\\ -\sin\Phi & \cos\Phi & 0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\\$

它的跡（Trace）

$\rm{Tr}(R^{\prime}) = 1 + 2\cos\Phi\\$

由于轉(zhuǎn)動矩陣的跡在相似變化下是個不變量，可以得到轉(zhuǎn)動角度 $\Phi$ 與初始轉(zhuǎn)動矩陣的 $\rm{R}$ 對角矩陣元的關(guān)系式

$\rm{Tr}(R) = a_{ii} = 1 + 2\cos\Phi\\$

$\implies \boxed{\Phi = \cos^{-1}\frac{a_{ii} - 1} {2}}\\$

$\bullet$ 若所有本征值 $\lambda_i$ 均為 $+1$ ， $\Phi = 0$

$\bullet$ 若 $\lambda_1 = \lambda_2 = -1, \lambda_3 = +1$ ， $\Phi = \pi$

$\bullet$ 若 $\rm{R}$ 含有復(fù)本征值，

$\rm{Tr}(R) = \sum_i \lambda_i = 1 + e^{i\Phi} + e^{-i\Phi} = 1 + 2\cos\Phi\\$

可見，實數(shù)本征值所對應(yīng)的不過是復(fù)數(shù)本征值的一種特殊情況。

$\bullet$ 使用本征值得到的角度并沒有規(guī)定方向。為了避免歧義，我們習(xí)慣使用右手螺旋定則，并將逆時針角度 $\Phi$ 與變換 $\rm{R}$ 對應(yīng)，將順時針角度 $-\Phi$ 與逆變換 $\rm{R}^{-1}$ 對應(yīng)。

$\rm{\mathbf{V\!I.}}$ 沙勒定理

沙勒定理是歐拉定理的推論，它指出，剛體的最廣義位移等價于一個平移加上一個旋轉(zhuǎn)。所以，剛體的運(yùn)動可分為平移運(yùn)動與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。剛體的現(xiàn)在位置與現(xiàn)在取向可以視為是從某個初始位置與初始取向經(jīng)過平移與旋轉(zhuǎn)而成。

沙勒其實還證明了一個更廣義的版本：既非旋轉(zhuǎn)又非平移的空間第一種合同變換（congruent transformation）(旋轉(zhuǎn)，平移，反射等)是一個螺旋運(yùn)動。通俗點來講就是，我們總是可以選擇一個局部坐標(biāo)系，使得剛體沿著轉(zhuǎn)軸方向平動。

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