最小二乘法在三坐標(biāo)測量時(shí)常常被提起，那什么是最小二乘法呢？它具備什么樣的特點(diǎn)？根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，哪些要求必須采用最小二乘法呢？今天我們就來聊一聊這個(gè)傳說中的最小二乘法。

在認(rèn)識最小二乘法之前，我們必須要先認(rèn)識一個(gè)人：

圖1 卡爾·弗里德里希·高斯（1777-1855）

沒錯(cuò)，此人就是那個(gè)高斯（這就是蔡司三坐標(biāo)測量軟件里，把最小二乘法也稱為高斯法），最小二乘法就是他整出來的。

一看此人面相就知道此君骨骼清奇，性格內(nèi)向，思想詭異。這么說可能對他老人家大大的不尊敬，他可是和阿基米德、牛頓齊名并列為世界三大數(shù)學(xué)家，以高斯命名的讓人眼花繚亂的定律之類的東西就有110項(xiàng)，恐怕是目前數(shù)學(xué)成果最多的數(shù)學(xué)家，真沒有之一。所以這個(gè)老頭被稱為“數(shù)學(xué)王子”（估計(jì)是最老的王子）。高斯詭異的思想是貢獻(xiàn)給人類的，他的數(shù)學(xué)成果應(yīng)用在各個(gè)領(lǐng)域。有一項(xiàng)應(yīng)用在當(dāng)今制造業(yè)質(zhì)量系統(tǒng)的管控，相信各位同行都很熟悉的，那就是著名的正態(tài)分布（也叫高斯分布）。

好了，不扯了，關(guān)于高斯NB的故事太多，扯不完?；貧w主題，我們還是來認(rèn)識一下高斯18歲時(shí)就找到的最小二乘法吧。

一. 最小二乘法的擬合原理

根據(jù)《數(shù)學(xué)指南》書中的解釋:

圖2 《數(shù)學(xué)指南》中對最小二乘法的解釋

上面這段話，枯燥且無趣，大家不用厭惡，數(shù)學(xué)向來這個(gè)樣子。

現(xiàn)在，我們來慢慢認(rèn)識上面這段話的意思，這句話的意思是說，擬合有兩個(gè)前提：

1. 要有N個(gè)不同的點(diǎn)（x1,x2...xN)的測量值（y1,y2,y3..yN) ，說得簡單一點(diǎn)，就是要用三坐標(biāo)在零件上采很多個(gè)不同位置的點(diǎn)，如(x1,y1);(x2,y2)...(xN,yN)。

2. 要有目標(biāo)，就是我們要知道想把這些點(diǎn)擬合成什么樣的特征，即所謂的給定函數(shù)f(x,a1,a2,...an)。比如說，用三坐標(biāo)在零件上采了很多個(gè)點(diǎn)，我們想把它擬合成圓呢還是擬合成平面？這個(gè)我們是在擬合前必須要知道的。

我們繼續(xù)往下走，假設(shè)我們知道我們想把采的點(diǎn)擬合成一個(gè)平面，但是這個(gè)平面的在空間坐標(biāo)系中的位置，方向我們并不知道。也就是說要確定這個(gè)平面的在三維坐標(biāo)系中的具體方程，就必須要知道那個(gè)給定函數(shù)f(x, a1,a2,...an)中的參數(shù)a1, a2,...an!

好了，說了半天，我們最終目的就是為了求a1, a2,...an! 而求這些參數(shù)的過程就是那個(gè)神神叨叨的擬合！

當(dāng)然了，擬合方法有很多種，只是擬合滿足的條件不同。其中有一種只要滿足下面的條件，

那么這種擬合方法就是最小二乘法，也就是高斯法。

相信講到這里，還是有很多小伙伴不太明白，我們再來舉個(gè)簡單的例子說明一下最小二乘法的擬合。

條件1：假設(shè)我們在一個(gè)平面上采了三個(gè)點(diǎn)，分別是u(10,10),v(40,42),w(20,45)

條件2：我們已知想把這三個(gè)點(diǎn)擬合成一條直線。這條直線的方程則是 y=ax+b

如果a,b的數(shù)值不一樣，那么這個(gè)直線在空間中的方向和位置也不一樣。所以所謂的擬合過程就是求直線方程中的a和b的過程（a,b就是前面提到的參數(shù)a1,a2,a3..an)。a,b一旦得出，那么這個(gè)直線也就得出來了。見圖3：

圖3 擬合數(shù)據(jù)和目標(biāo)

如何確定a和b呢？根據(jù)下面的公式，條件是要求Y方向的差值的平方和最小.

即要求下列公式中的R最小。

關(guān)于r1, r2, r3見圖4.

圖4 高斯擬合原理

由圖4中不難得出：r1=10a+b-10 r2=20a+b-45 r3=40a+b-42，則有：

求解的過程就是求當(dāng)R處于最小值時(shí)，對應(yīng)a,b的值。如果真要手工計(jì)算這個(gè)過程，要用到高等數(shù)學(xué)中的求偏導(dǎo)，為了不讓大家惡心，在這里就不再詳細(xì)敘述計(jì)算過程，把計(jì)算過程交給那些苦逼加牛逼的軟件工程師們吧。

經(jīng)過一番計(jì)算，我們可以得出 a=1.4009 ；b=-0.3482

則我們可以知道經(jīng)過所謂的最小二乘法擬合出來的直線是 y=1.401x-0.348. 見下圖：

圖5 軟件中用最小二乘法擬合直線

上面就是對最小二乘法擬合的過程給大家做了一個(gè)簡單的介紹。現(xiàn)實(shí)中所應(yīng)用的擬合會比上面的例子復(fù)雜很多，但是現(xiàn)在軟件的算法相對成熟，不管是擬合直線，平面，曲面等，軟件都可以快速算出來。具體的我們就不去深究了，但是我們需要知道最小二乘法的特點(diǎn):

1. 最小二乘法擬合出來的特征是理想的

2. 最小二乘法擬合出來的特征是唯一的

3. 如果沒有附加特別的約束（即a1,a2,a3...an之間需要滿足某種關(guān)系），最小二乘法擬合出來的理想特征，一定在擬合點(diǎn)之間（不是最中間）

4. 最小二乘法具備“民主性”，即傾向于大多數(shù)（切比雪夫法是絕對的“中間主義”）。如果和切比雪夫法做比較，下圖則可以體現(xiàn)出最小二乘法的所謂的“民主性”。

圖6 最小二乘法的“民主”性

二． 在標(biāo)準(zhǔn)里邊哪里必須要用到最小二乘法呢？

相比較ASME而言，ISO更加喜歡最小二乘法，下邊我們列出一些案例。

1. 最小二乘法應(yīng)用在尺寸部分

1.1 尺寸要素的默認(rèn)尺寸

ISO默認(rèn)獨(dú)立原則，對尺寸要素的尺寸要求是”兩點(diǎn)尺寸”必須合格。如果被測的零件是根軸，要求直徑要合格，這時(shí)我們就要求兩點(diǎn)尺寸必須合格。

什么是兩點(diǎn)尺寸呢？，我們對它的定義是“指的是在垂直于軸線的任意截面內(nèi)，連線過圓心且在零件表面上的兩點(diǎn)間的距離”，這里的“軸線”必須是最小二乘圓柱的軸線，“圓心”必須是最小二乘圓的圓心。見下圖：

圖7 圖紙和實(shí)際零件

已知圖紙要求和實(shí)際零件如圖7所示，如何嚴(yán)格按照標(biāo)準(zhǔn)來檢測該軸的直徑呢？分三步：

第一步，在實(shí)際零件表面采點(diǎn)擬合成最小而成圓柱，找出最小二乘圓柱軸線，見圖8：

圖8 擬合最小二乘圓柱

第二步，垂直于圖8中獲得的最小二乘圓柱的軸線，找出截面A-A（多個(gè)），見圖9：

圖9 找出截面A-A

第三步，在該截面上采點(diǎn)擬合稱最小二乘圓，找出該最小二乘圓的圓心。然后在該截面上任意取連線過該圓心的兩點(diǎn)，測出距離, 如下圖中的d1,d2,d3, 這就是兩點(diǎn)尺寸（局部尺寸）。見圖10：

圖10 兩點(diǎn)尺寸（局部尺寸）

只要圖10中的兩點(diǎn)距離滿足22±0.1，該軸的直徑就是合格的。

看完上面的三大步驟，相信經(jīng)常在生產(chǎn)線上做檢測的小伙伴嘴里馬上會蹦出兩個(gè)字，“蛋疼”！

而生產(chǎn)車間，檢測部門，為了檢測這根軸的直徑，常規(guī)的做法也是分三步來檢測：

第一步，拿起游標(biāo)卡尺

第二步，檢測

第三步，放下游標(biāo)卡尺

事實(shí)上，在零件的形狀誤差不大的情況下，用常規(guī)的三大步和高逼格的三大步測量結(jié)果的差異并不大，是可以執(zhí)行的。但并不意味著標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的測量方法是多余，它是規(guī)定了一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，具體的，沒有爭議的一種操作方法，如果客戶和供應(yīng)商發(fā)生爭執(zhí)，必須依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的測量方法來仲裁。

順便提一下，?？怂箍档?017版三坐標(biāo)軟件PC-DMIS里邊已經(jīng)有了測量局部尺寸的功能，如圖11中的LP指的就是兩點(diǎn)尺寸即局部尺寸（Local Point)。

圖11 局部尺寸在PC-DMIS中

1.2 尺寸要素的尺寸加GG修飾符號

根據(jù)ISO14405-1,如果尺寸要素的尺寸加了GG修飾符號，這時(shí)要求實(shí)際零件的最小二乘圓柱的直徑必須滿足圖紙要求，見圖12：

圖12 GG要求在圖紙中

圖12要求，則要求該實(shí)際軸線的最小二乘圓柱直徑d必須滿足Φ22±0.1。另外， GG的測法在2017版的PC-DMIS里也有，參考圖11.

2. 最小二乘法應(yīng)用在幾何公差

2.1 默認(rèn)的幾何公差控制

在ISO中，當(dāng)幾何公差控制的對象是中心線的時(shí)候，默認(rèn)都是提取中心線。已知零件圖和實(shí)際零件如下圖所示，要求測量直線度，這時(shí)直線度的約束對象則是這根軸的提取中心線，而這個(gè)提取中心線的獲得，也是要分三步才能獲得。見下圖：

圖13 圖紙要求和實(shí)際零件

第一步，在實(shí)際零件表面采點(diǎn)獲得最小二乘圓柱的軸線。見圖14

圖14 獲得最小二乘圓柱軸線

第二步，在垂直于該最小二乘圓柱軸線的平面內(nèi)采點(diǎn)，擬合出最小二乘圓（平面圓），找出其圓心，見圖15

圖15 獲得最小二乘圓圓心

第三步，將所有獲取的每個(gè)截面的最小二乘圓的圓心連起來，就形成了一條彎彎曲曲的中心線，這個(gè)中心線叫提取中心線（或提取中心要素），在ISO中，當(dāng)幾何公差約束中心要素時(shí)，所約束的對象就是這個(gè)玩意兒。只要這個(gè)提取中心線能夠處在直徑為Φ0.1的公差帶范圍內(nèi)，該軸線的直線度就合格。

圖16 直線度的要求

2.2 加修飾符G圈的幾何公差控制

最新版的ISO1101:2017增加了很多修飾符號。盡管很煩，其最大的好處在于，設(shè)計(jì)工程師可以根據(jù)功能的需要任意定義需要控制的對象，能更加清晰的表明對零件的要求，使生產(chǎn)制造和質(zhì)量檢測不會出現(xiàn)誤解。還有一個(gè)好處就是減少了ISO和ASME兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)之間的差異。

其中有一個(gè)符號就是G圈，一旦加了G圈，其幾何公差所約束的對象不再是提取中心線，而是最小二乘圓柱的軸線。見圖17：

圖17 圖紙要求和實(shí)際零件

圖17的垂直度增加了G圈的修飾符號，意味著被測對象不再是該孔的提取中心線，而是用該孔擬合出來的最小二乘圓柱的軸線，如圖17所示：

圖18 垂直度的要求

圖18中，只要用實(shí)際孔擬合出來的最小二乘圓柱的軸線落在0.2的圓柱形公差帶范圍內(nèi)，該孔的垂直度就合格。需要注意的是，一旦加了G圈，該垂直度不再控制直線度，為了控制其直線度，還要額外增加直線度的要求。而在ISO默認(rèn)的要求（沒有任何修飾符）中，該案例垂直度本來是可以控制直線度的。

最小二乘法的擬合，在幾何公差的測量里還有其他地方會用到（如基準(zhǔn)后邊加G)，這里不再一一敘述。

小結(jié)

本片文章敘述了最小二乘法的擬合原理以及擬合出來的特征所具備的特點(diǎn)，同時(shí)舉例說明了ISO標(biāo)準(zhǔn)中最小二乘法在尺寸公差和幾何公差中的應(yīng)用。