學生姓名：陸文龍
班級：14級材料班
學號：2014301020044
一、摘要
本次作業(yè)以第7章（random systems）為主,探究了以下問題
1、每次隨機行走等單位長度1的粒子的隨機行走演示，并計算了一維情況下粒子與原點距離的方均根隨時間的變化情況
2、每次行走隨機單位長度（-1,1）粒子的演示和方均根情況
3、自回避隨機行走（self-avoiding walks）的有趣問題
4、分別用“隨機行走”的方法和“公式演化”的方法模擬擴散現(xiàn)象，并且拓展到二維情況
5、畫散點圖模擬“冰淇淋融化在咖啡里”的粒子運動情況
6、Eden cluster 和 DLA cluster兩種模型的模擬
7、順便探究了一下11章的開頭，更深入探究了吉他弦的振動情況
二、背景
隨機行走的產(chǎn)生主要靠調(diào)用Python里的random函數(shù)
擴散問題的公式演化是一直用的模擬演化手段
三、引言
隨機行走（random walk）是指基于過去的表現(xiàn)，無法預測將來的發(fā)展步驟和方向。核心概念是指任何無規(guī)則行走者所帶的守恒量都各自對應著一個擴散運輸定律 ，對于我們解決熱力學問題有很好的輔助作用，，它接近于布朗運動，是布朗運動理想的數(shù)學狀態(tài)
上圖布朗運動的模擬調(diào)用了threading，是參考的網(wǎng)上別人的代碼 ：布朗運動
四、主體
? 1、單位長度的隨機行走 ? ?代碼1:單位長度隨機行走演示
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?代碼2：<x^2>隨時間變化
由于是隨機行走，再運行一次，結(jié)果將完全不同
<x^2>隨時間的關(guān)系圖 ?
用計算機擬合的曲線是0.9994 x + 0.2927
2、（-1,1）隨機距離的隨機行走 ? 代碼1：隨機距離的隨機行走
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?代碼2：<x^2>（隨機距離的隨機行走）
這種情況某一次實驗擬合出來的直線是0.3239 x + 0.3302 ? 斜率比單位距離小，約3倍關(guān)系
3、自回避隨機行走（self-avoiding walks）的有趣問題
代碼：自回避行走
我們可以將自回避行走問題放在具體情境中考慮
? ?假設我們把一條狗放置在一個大城市的中心位置，大城市的街道構(gòu)成我們所熟悉的網(wǎng)格模式。假設城市包括n條南北走向的街道和n條東西走向的街道，所有的街道均勻分布交叉構(gòu)成一個網(wǎng)格。這條狗試圖逃出城市，在每個交叉路口隨機選擇方向，但通過狗的靈敏嗅覺不走重復的路。有時候這條狗會走入死胡同，即在某些交叉路口沒有選擇，必須重走已經(jīng)走過的交叉路口，請問走入死胡同的概率是多大？（摘自網(wǎng)絡）
我將問題稍微簡化一下，假設路口選擇方向是隨機的，一旦選擇了已經(jīng)走過的地點，則為deadend（即“狗的靈敏嗅覺不走重復的路”這種選擇條件弱化去掉）
我選擇21*21的網(wǎng)格，狗一開始處于網(wǎng)格中點（10,10）處，運行程序會分解步驟畫出成功脫逃的路線選擇，顯示我運行的成功出逃的結(jié)果
4、用“隨機行走”的方法和“公式演化”的方法模擬擴散現(xiàn)象，并且拓展到二維情況
代碼1：一維擴散（隨機行走法解決）
代碼2：一維擴散（計算推演解決）
代碼3：二維擴散演示
相比于隨機行走法，計算法還是較好，得出來的圖像較為平滑
二維擴散圖演示
5、散點圖模擬“冰淇淋融化在咖啡里”的粒子運動情況
? ? ? ?代碼：cream in coffee
將一幅幅圖集合成GIF動圖結(jié)果和分開圖如下
6、Eden cluster 和 DLA cluster兩種模型的模擬
代碼1：Eden clusters
代碼2：DLA clusters
PS：為了避免不必要的版面浪費，接下來都將幾幅圖和成了GIF動圖，按時間順序更直觀演示（雖然隨機過程每次重復結(jié)果都不同，合成動圖也都是分多次運行的程序，但還是有一定直觀性）
上面是按Eden 模型模擬的結(jié)果，可以看出粒子是基本以中心為基礎向外展開，逐漸擴展邊界（圖形內(nèi)部雖然會出現(xiàn)空洞，但馬上會被填滿）
下面演示DLA clusters模型比較簡陋，僅僅演示了單一分支的情況
7、附帶進一步延續(xù)第六章探究的吉他弦的問題
代碼：吉他弦
吉他附帶都有一個soundboard，它的作用相當于一個放大器，弦振動引起它的振動，它激蕩空氣，產(chǎn)生聲波
弦線的一端通過bridge，而bridge與soundboard緊緊連在一起，弦振動的力量直接傳到soundboard上，作用在其上的力為
根據(jù)以上所述知識，我們在1/5L處拉弦（pluck）即此時“plucking ratio”β=1/5? ? L=0.65m,T=149N,c=320m/s,弦線分成1000份，dx=0.65mm
Fbridge與x=0處的斜率成正比，上圖顯示x=0處斜率確實在兩個值間擺動，
頻譜分析：傅里葉分析會有一系列峰值，f1,2f1,3f1,4f1...... ，nf1即為harmonics,在n=1/β，2/β......
時峰值歸零，
我的β=1/5，在n=5,10,15......時峰值歸零，從上圖可以看出程序模擬的滿足理論。
PS：當把弦分成100分時，弦振動會呈現(xiàn)鋸齒狀
這是我們所用公式的固有特征，當我們起始是急劇的拉一下，使斜率在起始plucking point不連續(xù) ，我們用上面的公式將總是演化出鋸齒狀的圖形
五、實驗結(jié)論
1、對于一維的單位長度隨機行走，粒子在原點附近擺動，<x^2>隨時間線性增加。（<x^2>=0.9994 x + 0.2927）隨機距離（-1~1）時，結(jié)論不變，<x^2>隨時間線性增加速度降低(<x^2>=0.3239 x + 0.3302)。
2、自回避運動很有趣，在高分子材料研究和游戲開發(fā)方面很有用。
3、“隨機行走”的方法和“公式演化”的方法都可以模擬擴散現(xiàn)象，但公式法顯然精準一些，但隨著樣本數(shù)量上升，隨機模擬的方法也會越來越準確，并且，后者思想簡單，在較高運算條件下能解決的問題更多
4、散點圖模擬“冰淇淋融化在咖啡里”的粒子運動情況，十分直觀顯示了粒子群體的微觀運動狀態(tài)
5、Eden cluster 和 DLA cluster兩種模型的擴散方法不同，直觀見上面的圖
6、吉他弦加在琴橋上的力Fbridge的傅里葉分析會有一系列峰值，f1,2f1,3f1,4f1...... ，nf1即為harmonics,在n=1/β，2/β......時峰值歸零
六、致謝
1、計算物理
2、百度百科
