按：這是重新開(kāi)始寫作自己感興趣卻不見(jiàn)得大家都了解的小知識(shí)系列，不定期更新。以后的標(biāo)題統(tǒng)一為“Caesar的小為什么”好了。之所以要叫“為什么”，是因?yàn)榱私庑≈R(shí)總是以一個(gè)自己的小疑問(wèn)為起點(diǎn)的。Caesar無(wú)論到哪里都是社交圈里數(shù)一數(shù)二的好奇寶寶，實(shí)際上還是很為此自豪的。
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鋼琴這個(gè)樂(lè)器，大家都很熟悉，不見(jiàn)得都彈過(guò)，但大概都見(jiàn)過(guò)。而且對(duì)于Caesar的同齡人而言，雖然不是每個(gè)人都被鋼琴毀過(guò)童年，但是可能有相當(dāng)一部分在中學(xué)時(shí)期曾經(jīng)被它的簡(jiǎn)化量產(chǎn)改（shan）造（zhai）型——口風(fēng)琴——折磨過(guò)。所以說(shuō)，很可能在座的大部分朋友看都不用看，只憑回憶就能回憶起鋼琴的鍵盤長(zhǎng)什么樣子。
不過(guò)為了防止跑來(lái)讀這篇文章的小同學(xué)里有記憶力只有五秒的寶寶，Caesar還是給大家簡(jiǎn)單總結(jié)一下好了：鋼琴的鍵盤分為若干組琴鍵，每組十二個(gè)，七個(gè)白鍵，五個(gè)黑鍵，按照白夾黑的原則排列，這樣每組里面又有兩個(gè)分組，第一組五個(gè)鍵白-黑-白-黑-白，第二組七個(gè)鍵白-黑-白-黑-白-黑-白。
所以鋼琴為什么要這樣排列琴鍵？
相信看到這里，圍觀的無(wú)數(shù)資深三好學(xué)生早就在心里嫌棄了：Caesar你是把我們當(dāng)白癡是怎么的？我們橫豎也是受過(guò)九年義務(wù)教育的人，都知道七個(gè)白鍵對(duì)應(yīng)哆來(lái)咪發(fā)唆拉西，你問(wèn)這問(wèn)題是在唬我們？講清楚！
是的，我想說(shuō)大家的感覺(jué)是部分正確的！——不是感覺(jué)我看不起大家的那一部分（Caesar才疏學(xué)淺，哪里有膽，每天只求大佬們不要看不起我），而是這個(gè)問(wèn)題是唬大家的那一部分。我今天想給大家探討并不是黑白鍵這個(gè)層面的問(wèn)題，而是有關(guān)于讓黑白鍵這么排布的Do Re Mi Fa Sol La Si的。（小知識(shí)點(diǎn)：西用字母來(lái)寫最標(biāo)準(zhǔn)的寫法是Ti而不是Si更不是Xi，Si在最標(biāo)準(zhǔn)的記法里實(shí)際上對(duì)應(yīng)升Sol，而英語(yǔ)中是沒(méi)有漢語(yǔ)拼音的x音的。這一篇文章為方便大家閱讀寫作Si）之所以用黑白鍵來(lái)填標(biāo)題，是因?yàn)镃aesar覺(jué)得哆來(lái)咪發(fā)唆拉西這七個(gè)字寫進(jìn)標(biāo)題很難看……
于是Caesar要拋出今天真正的靈魂拷問(wèn)了。我相信，各位曾經(jīng)在小學(xué)的音樂(lè)課上，跟著老師咿咿呀呀唱過(guò)Do Re Mi Fa Sol La Si的小天使們，在那天真爛漫的若干個(gè)四十分鐘里一定也問(wèn)過(guò)自己這個(gè)問(wèn)題：
為什么Mi和Fa中間，Si和Do中間的音要小一些呢？
如果Caesar沒(méi)有記錯(cuò)的話，音樂(lè)老師們?cè)诮o小天使們教唱音階的時(shí)候，就已經(jīng)以一種“管你們聽(tīng)不聽(tīng)得懂”的氣魄給我們傳授了“半音”和“全音”的概念。他們會(huì)用親切的眼神注視著我們，并用講天書(shū)一般的語(yǔ)調(diào)對(duì)我們說(shuō)：
Mi和Fa中間，Si和Do中間隔的是半音；其他幾個(gè)音中間隔的都是全音。
全音呢，就是兩個(gè)半音。
在那之后不久，他們還會(huì)告訴我們夾在全音中間的半音的名字，比如Fa和Sol之間的叫升Fa，Sol和La之間的叫升Sol，不過(guò)La和Si之間的也可以叫降Si。讓人欣慰的是，這些名字有兩個(gè)音節(jié)的怪物在那節(jié)課之后就幾乎從音樂(lè)課課堂里銷聲匿跡了，一直到高考之前也就極其偶爾地冒幾次頭。這可以說(shuō)是九年義務(wù)教育的課綱當(dāng)中，為數(shù)不多的能為我們保留幾分難能可貴的童趣與純真的部分。
所以Caesar總是在猜想，當(dāng)年肯定不止自己有過(guò)這個(gè)疑問(wèn)：
為什么音階七個(gè)音的間隔要弄成五個(gè)全音和兩個(gè)半音吶？直接弄六個(gè)音相距六個(gè)全音，不是簡(jiǎn)潔多了嗎？
當(dāng)年的Caesar作為一名音樂(lè)課都沒(méi)聽(tīng)懂過(guò)幾節(jié)的模范小學(xué)生，在產(chǎn)生這個(gè)疑惑的時(shí)候就已經(jīng)很明確地意識(shí)到，憑自己的力量，恐怕是搞不明白這個(gè)玄妙的問(wèn)題的。因此，這個(gè)問(wèn)題就被童年Caesar封存在了心底，慢慢地就淡忘了，直到前些日子一次偶然的好奇，才浮現(xiàn)出來(lái)。于是，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)點(diǎn)調(diào)查研究，Caesar大概搞明白了Do Re Mi Fa Sol La Si這個(gè)音階（即所謂七聲音階）的不規(guī)律分布背后的原因，今天就寫出來(lái)和各位分享一下。
2
談這個(gè)問(wèn)題，Caesar想從一個(gè)叫三全音的東西談起。
三全音，顧名思義，就是三個(gè)全音。音樂(lè)理論當(dāng)中，兩個(gè)音的音高的差別有一個(gè)專門的稱呼，叫做音程，因此三全音指的就是兩個(gè)音之間差三個(gè)全音或者說(shuō)六個(gè)半音的音程。如果從七聲音階的Do開(kāi)始找，數(shù)六個(gè)半音之后，是落在Fa和Sol中間的升Fa的位置。
由于一個(gè)低音的音符到高音的同名音符——也可以叫一個(gè)八度，比如Do到高音Do（也就是Si音上面的更高的一個(gè)Do音，后面說(shuō)“高音”的意義相同）——之間是12個(gè)半音，三全音是6個(gè)半音，正好在一半的位置，看起來(lái)非常和諧，所以沒(méi)有太深入研究過(guò)音樂(lè)的小伙伴們的第一印象可能是：這應(yīng)該是個(gè)很好聽(tīng)的音。然而事實(shí)卻恰恰相反，三全音通常被作曲家視為一個(gè)八度內(nèi)存在的13種音程（即兩個(gè)音之間相隔0到12個(gè)半音的13種情況）當(dāng)中最不和諧的一種，音效極差。如果我們把三全音寫進(jìn)樂(lè)曲的主旋律，瞬間就可以使得曲調(diào)的和諧感蕩然無(wú)存。因?yàn)檫@種奇怪的特性，三全音的音程在中世紀(jì)的歐洲一度有“魔鬼之音”的稱號(hào)，甚至曾在教會(huì)樂(lè)曲中被禁止使用，也被大部分古典音樂(lè)作曲家規(guī)避；而在近代的樂(lè)曲譜曲當(dāng)中，則經(jīng)常充當(dāng)制造緊張、不安、詭異氣氛的角色。
如果我們了解了三全音再去想一下七聲音階不規(guī)則的音差分布（五個(gè)全音和兩個(gè)半音），就可以發(fā)現(xiàn)Mi和Fa之間、Si和Do之間的兩個(gè)半音音差的加入，近乎在最大的程度上避免了音階的七個(gè)音符出現(xiàn)相距6個(gè)半音的狀況：Do Re Mi Fa Sol La Si這一組音符，兩兩比較下來(lái)，只有Fa和Si之間的相隔是6個(gè)半音。手邊有樂(lè)器的看官可以現(xiàn)在就拿過(guò)來(lái)連續(xù)彈/吹/拉一下Fa 和Si兩個(gè)音符，應(yīng)該可以立刻感受到這個(gè)音程的不和諧。
然而，雖然6個(gè)半音的對(duì)應(yīng)的三全音音程如此不和諧，對(duì)應(yīng)12個(gè)半音的純八度（也就是Do和高音Do、Re和高音Re這種音高的差別）卻被認(rèn)為是最和諧的音程之一。同樣被認(rèn)為是最和諧之一的，還有相隔0個(gè)半音的音程，也就是兩個(gè)相同的音（Do和Do、Re和Re這一類），學(xué)名叫做純一度。于是我們就發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇景：0個(gè)半音和12個(gè)半音的音程都非常和諧，兩者取一下平均數(shù)，得到6個(gè)半音，對(duì)應(yīng)的音程反而變成極度不和諧的了。看起來(lái)確實(shí)頗為奇怪。
然而更加讓人疑惑的事還在后面呢：如果我們專門查找一下音程和諧度的資料，就會(huì)發(fā)現(xiàn)排在純一度和純八度之后的兩個(gè)最和諧的音程，分別是7個(gè)半音的“純五度”和5個(gè)半音的“純四度”！這下子就真的有點(diǎn)讓人摸不著頭腦了：0個(gè)和12個(gè)半音對(duì)應(yīng)最和諧的音程，中間的6個(gè)半音對(duì)應(yīng)最不和諧的，但是從6個(gè)半音往兩邊各加減一個(gè)半音，反而又變得非常和諧了？這究竟是唱的哪一出？
Caesar初看到這些內(nèi)容也覺(jué)得一頭霧水，為什么會(huì)出現(xiàn)這種奇怪的現(xiàn)象？研究了一下后才發(fā)現(xiàn)，這涉及到大量的物理學(xué)以及生物學(xué)（人類聽(tīng)力）方面的科學(xué)研究結(jié)論，其核心則是一套精密的有關(guān)“半音”的數(shù)學(xué)原理。雖然Caesar不是這幾個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的專家，但是之前的研究成果已經(jīng)相當(dāng)豐富可靠，而且的確頗為有趣，因此Caesar決定今天就當(dāng)一次二道販子，為大家剖析一下這種怪象背后的原理。
3
首先我們從一條物理學(xué)的研究結(jié)論開(kāi)始：
音調(diào)的實(shí)質(zhì)是聲波的頻率，而兩個(gè)音聽(tīng)起來(lái)的“距離”，實(shí)質(zhì)上和兩個(gè)聲音對(duì)應(yīng)的聲波頻率的比例。
聲波的概念大家都熟悉，頻率的概念大家應(yīng)該也都能理解（可以簡(jiǎn)單地理解為聲波多久振一次），那么Caesar接下來(lái)要給大家的第一個(gè)重要的科研結(jié)論應(yīng)該也就好理解了：
半音從表面上看（聽(tīng)），是將一個(gè)純八度的音差等分成了12份，任意兩個(gè)相鄰的音之間的“距離聽(tīng)起來(lái)相等”。但是轉(zhuǎn)化到實(shí)質(zhì)層面，則是任意兩個(gè)相鄰的音對(duì)應(yīng)的聲波頻率的數(shù)學(xué)比值都相同。
因此，如果我們把純八度的低音（我們接下來(lái)也會(huì)稱它為主音，作為純八度內(nèi)的參照原點(diǎn)）的頻率設(shè)為f0，高音的頻率設(shè)為f12，再將其中等分的11個(gè)半音的頻率分別設(shè)為f1到f11，那么就有f1/f0=f2/f1=f3/f2=…=f12/f11。也就是說(shuō)，這13個(gè)頻率構(gòu)成的將是一個(gè)等比數(shù)列。
科學(xué)研究同時(shí)證明：
構(gòu)成純八度的兩個(gè)音，高音的頻率是低音的2倍。
這就像小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題一樣，給出了一個(gè)重要的已知條件。所以如果我們?cè)O(shè)f0=1，f12=2，我們就可以進(jìn)一步用等比數(shù)列的性質(zhì)，很方便地算出來(lái)f1到f11的每一項(xiàng)都是多少：
設(shè) f1/f0=f2/f1=f3/f2=…=f12/f11=q，
有 fn = fn/f[n-1] ·f[n-1]/f[n-2] ·…·f1/f0 = q^n (n∈[1,12]且n∈N)
根據(jù) f12=q^12=2，
可解得 q=2^(1/12)，
因此 fn= [2^(1/12)]^n = 2^(n/12) (n∈[1,12]且n∈N)
所以，每隔一個(gè)半音的音符對(duì)應(yīng)的聲音頻率分別是主音頻率的【2的12分之1次方】的0到12次方倍（0次方就等于1，12次方等于2）?；蛘咴贀Q句話來(lái)說(shuō)，將2開(kāi)12次方根號(hào)得到一個(gè)數(shù)，然后計(jì)算這個(gè)數(shù)的0到12次方數(shù)，就是將純八度的低音的頻率作為1倍（因?yàn)閷?shí)際上的主音頻率肯定不是1；我們常唱的Do Re Mi Fa Sol La Si中的Do，頻率大概是261.6赫茲。前面設(shè)為1是為了大家理解方便），高音的頻率作為2倍的時(shí)候，每個(gè)音符對(duì)應(yīng)的聲波頻率的倍數(shù)。學(xué)過(guò)高中數(shù)學(xué)的朋友們都能看出，這個(gè)數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)。
而科學(xué)研究給我們的第三個(gè)重要結(jié)論則是：
構(gòu)成一個(gè)音程的兩個(gè)音的波長(zhǎng)的比例用整數(shù)比例寫出來(lái)越簡(jiǎn)單，這個(gè)音程聽(tīng)起來(lái)就越和諧。
這句話該如何理解？一個(gè)音程，我們把高低兩個(gè)音符的聲波頻率寫成比例，然后把比值寫成一個(gè)分子和分母都是整數(shù)的分?jǐn)?shù)，寫出來(lái)的分子分母越簡(jiǎn)單，我們聽(tīng)這個(gè)音程就越好聽(tīng)。
“好聽(tīng)”這個(gè)感性的概念的背后還有數(shù)學(xué)原理！聽(tīng)上去似乎很神奇，文科生Caesar也不太明白個(gè)中就里。不過(guò)好在Caesar是一個(gè)喜歡（不是擅長(zhǎng)）數(shù)學(xué)的文科生，覺(jué)得它是個(gè)可以創(chuàng)造奇跡的學(xué)科，因此聽(tīng)到這種神奇的效果也就相信了。
按照上述理論，分子分母都要是整數(shù)，因此寫出來(lái)最簡(jiǎn)單的頻率比值自然就是1/1。相同的頻率，意味著兩個(gè)相同的音，對(duì)應(yīng)的是我們上面提到的純一度，兩個(gè)音之間的間隔是0個(gè)半音。
接下來(lái)輪到的是1/2和2/1。容易理解，這樣互為倒數(shù)的比值實(shí)際上代表著相同的比例，只是在比較時(shí)將高音和低音的位置互換而得到不同的比值。因此我們接下來(lái)不妨以低音的頻率為作分母，高音的頻率作為分子。因?yàn)楦咭舻念l率比較大，這時(shí)候分子要比分母大，因此在1/2和2/1當(dāng)中，我們?nèi)?/1。2/1就是2倍的頻率關(guān)系，正如我們前面已經(jīng)談到的，這個(gè)高低音頻率比例對(duì)應(yīng)的正是12個(gè)半音的純八度。
至此，前面提到的兩個(gè)最和諧音程，在這種理論推演當(dāng)中就得到了證明。
但是尋找接下來(lái)的和諧音程似乎就比較麻煩了，因?yàn)槲覀兊倪x擇范圍，是純八度內(nèi)13個(gè)“等距”（相隔半音）的音符兩兩配對(duì)構(gòu)成的音差。前面已經(jīng)總結(jié)到，和“和諧”有關(guān)的是頻率比值，寫出來(lái)是個(gè)分?jǐn)?shù)，是個(gè)有理數(shù)；而和13個(gè)由半音間隔確定的音符的頻率有關(guān)的一組數(shù)是2^(n/12)，除去n等于0和12的情況，剩下的11個(gè)數(shù)都是無(wú)理數(shù)。一個(gè)是有理數(shù)，一個(gè)是無(wú)理數(shù)，這兩組數(shù)表面上看天差地別。
萬(wàn)幸的是，實(shí)際狀況并沒(méi)有這么復(fù)雜。因?yàn)槲覀円呀?jīng)將純八度的主音設(shè)為2^(0/12)也就是1了，所以只要找到最接近接下來(lái)我們找出的比例值的一個(gè)2^(n/12)，就可以把它改寫成[2^(n/12)/ 2^(0/12)]的比例形式（分母是1，所以數(shù)值沒(méi)有變）；而這個(gè)過(guò)程，反過(guò)來(lái)自然也是可以的。根據(jù)這個(gè)思路，我們的任務(wù)就簡(jiǎn)化成了找最接近寫出的比例值的2^(n/12)。
根據(jù)這個(gè)思路，繼2/1之后，位于1和2之間的下一個(gè)最簡(jiǎn)單的比例應(yīng)該就是3/2，也就是1.5倍的頻率關(guān)系了，我們要找的就是最接近它的2^(n/12)。有沒(méi)有哪個(gè)2^(n/12)和它比較接近呢？
1.5和2^(n/12)這兩個(gè)數(shù)看起來(lái)風(fēng)馬牛不相及，然而實(shí)際上在n取1到11之間的11個(gè)整數(shù)之一的時(shí)候，實(shí)際數(shù)值相當(dāng)接近，甚至可以說(shuō)近得有點(diǎn)可怕：
3/2的小數(shù)形式是1.5，而2的12分之7次方約等于1.498，相差不到千分之二！這就意味著如果兩個(gè)不同的音符的頻率分別是Do的1.5倍和2^(7/12)倍，我們將近乎聽(tīng)不出差別。根據(jù)我們前面的定義，當(dāng)高音的頻率比上低音的頻率是2^(7/12)倍時(shí)，對(duì)應(yīng)的正是7個(gè)半音的音程，也就是我們之前提到的第二和諧的“純五度”，相當(dāng)于七聲音階Do到Sol的音程。
我們可以看到，數(shù)學(xué)的精密計(jì)算在此刻向我們呈現(xiàn)出一個(gè)無(wú)懈可擊的結(jié)論：繼相距0個(gè)和12個(gè)半音的音程之后最為和諧的音程，不是6個(gè)半音的音程，甚至也不是4個(gè)或者8個(gè)半音的音程，而正是7個(gè)半音音程的純五度。
而跟在純五度之后最和諧的音程又是哪一個(gè)呢？接續(xù)3/2又位在1與2之間的最簡(jiǎn)單比例，就應(yīng)該要數(shù)4/3了。而如果我們可以注意到4/3×3/2=2，就能很容易地發(fā)現(xiàn)最接近4/3的2^(n/12)：
保留三位小數(shù)的話，4/3約等于1.333。因此2的12分之5次方和4/3之間的相差，也不到千分之二。這就說(shuō)明，5個(gè)半音的音程的和諧程度，將緊接在7個(gè)半音的純五度音程之后。而這個(gè)相距5個(gè)半音的音程，對(duì)應(yīng)的正是前面曾經(jīng)和純五度并列提到的純四度。
理解了純五度和純四度和諧的原因之后，三全音不和諧的原因也就很淺顯了：6個(gè)半音的音程對(duì)應(yīng)的頻率比是2的12分之6次方，也就是根號(hào)2【2的平方根。簡(jiǎn)書(shū)不支持?jǐn)?shù)學(xué)表達(dá)式，希望大家諒解】，恰好是一個(gè)無(wú)理數(shù)，因此很難轉(zhuǎn)化成非常簡(jiǎn)潔的整數(shù)比例形式的近似值。（有些同學(xué)可能知道，古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯有個(gè)學(xué)生西帕索斯，就是因?yàn)樽C明了根號(hào)2沒(méi)法寫成兩個(gè)整數(shù)的比值，而被自己的老師丟進(jìn)海里喂魚(yú)的）這就注定了無(wú)論如何取近似值，對(duì)應(yīng)根號(hào)2倍頻率的6個(gè)半音音程都好聽(tīng)不起來(lái)。
4
到此我們就算解釋完了這個(gè)“2的12分之n次方”的原理。但是這個(gè)原理要如何回答我們標(biāo)題里提到的問(wèn)題呢？——“為什么Do Re Mi Fa Sol La Si的七聲音階，要按照全-全-半-全-全-全-半的方式去分配音符和音符之間的音差？”
Caesar認(rèn)為，這種分配方式和純五度、純四度的和諧性密不可分。我們的先人在發(fā)明音樂(lè)時(shí)，尚不懂得無(wú)理數(shù)和指數(shù)函數(shù)，是萬(wàn)不可能以均分12個(gè)半音的方式來(lái)確定每個(gè)音符的音高的。對(duì)于音律尚一無(wú)所知的他們，恐怕只能對(duì)于“和諧”和“悅耳”的理解與感受去尋找每個(gè)音符。因此，在他們確定一個(gè)音當(dāng)作基準(zhǔn)——可以理解為當(dāng)作Do——之后，接下來(lái)確定的必然是最和諧的高音或者低音Do，從而有了等同于我們今天說(shuō)的八度的概念。而在相鄰的兩個(gè)Do之間，他們接下來(lái)確定的，就必然是Sol這個(gè)和Do成純五度音程的音符，因?yàn)樗窍噜彽膬蓚€(gè)Do之間最為和諧的音。
這種推算并非是Caesar的信口開(kāi)河。至今音樂(lè)當(dāng)中還有“五度圈”的概念，在調(diào)式的變化上扮演著非常重要的作用。由于變調(diào)（轉(zhuǎn)調(diào)）的樂(lè)理太過(guò)復(fù)雜，而且Caesar自己到現(xiàn)在也拎不清楚，所以這里不展開(kāi)講了，大家可以看下面兩幅圖感受一下。Caesar借此想要為大家說(shuō)明的僅僅是，純五度的音程在音樂(lè)當(dāng)中有著相當(dāng)重要的地位。
因此Caesar的觀點(diǎn)是，我們有足夠的證據(jù)去推論，12個(gè)半音被確定下來(lái)，最初乃是因?yàn)槲覀兊南热死眉儼硕群图兾宥鹊囊舫倘ふ腋嗟囊舴?，最終發(fā)現(xiàn)的一種循環(huán)規(guī)律：純五度的1.5倍聲波頻率比極其接近2的12分之7次方，因此如果我們的先人從基準(zhǔn)音（例如Do）找高一個(gè)純五度的音符，再?gòu)哪莻€(gè)音符再找高一個(gè)純五度的音符，或者以相同的方式向低音的方向找，那么當(dāng)兩側(cè)推演大約12個(gè)純五度之后，我們的先人就可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)近似7個(gè)純八度的循環(huán)。而我們的先人如果有心（幾千年的時(shí)間，恐怕總?cè)辈涣四敲磶讉€(gè)瞎操心的人吧），再?gòu)耐蒲葜械玫降倪@些音符降若干個(gè)純八度比較，就能近似得到一個(gè)純八度內(nèi)所有的12個(gè)音符。12個(gè)半音很可能就是這樣被確定下來(lái)的。
有鑒于此，Caesar認(rèn)為，半音的數(shù)目是12，很可能是一種果，而不是因，真正的原因是1.5和2的7/12次冪這兩個(gè)數(shù)驚人得如同巧合一般的近似。很有可能（Caesar并沒(méi)有算過(guò)，但是認(rèn)為這一定是事實(shí)）的情況就是，在所有2的p/q次冪（p、q都是整數(shù)）當(dāng)中，當(dāng)q小于12的時(shí)候，2^(p/q)對(duì)應(yīng)的數(shù)值都沒(méi)能像2^(7/12)那樣如此接近1.5。如果有q小于12的情況2^(p/q)極其接近1.5的話，我們今天所聽(tīng)到的音樂(lè)，與一個(gè)八度相等的音程內(nèi)部，很可能就不是12個(gè)半音，而可能是10個(gè)半音、9個(gè)半音或者6個(gè)半音了。這樣想下來(lái)，也是挺神奇的。
就說(shuō)到這里吧。最后，Caesar來(lái)給大家整理一下這篇文章所表達(dá)的清奇的腦回路：
問(wèn)：為什么鋼琴上的白鍵和黑鍵的數(shù)量不一樣多？
答：因?yàn)?2個(gè)半音的音階被挑出了7個(gè)音作為主音，而不是被分割成了六個(gè)全音。
問(wèn)：那么為什么不分割成六個(gè)全音呢？
答：因?yàn)橄嗑嗳齻€(gè)全音的兩個(gè)音符聽(tīng)上去很不和諧，所以如果間距都是全音，創(chuàng)作出的音樂(lè)反而就不好聽(tīng)了。
與此同時(shí)，相距五個(gè)半音和七個(gè)半音的兩個(gè)音符聽(tīng)上去反而非常悅耳，所以Fa和Sol進(jìn)入到音階當(dāng)中近乎是必然的。
問(wèn)：那么為什么五個(gè)半音和七個(gè)半音都這么好聽(tīng)，中間的六個(gè)半音（三個(gè)全音）就非常難聽(tīng)呢？
答：因?yàn)椤昂寐?tīng)”本質(zhì)上和兩個(gè)音符的聲波頻率的數(shù)學(xué)比例有關(guān)，是非常簡(jiǎn)單的有理數(shù)運(yùn)算，“半音”對(duì)應(yīng)的聲波頻率卻是由一個(gè)無(wú)理數(shù)作為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)確定的。
七個(gè)半音和五個(gè)半音之所以非常和諧，是因?yàn)?^(7/12)和2^(5/12)兩個(gè)數(shù)非常接近3/2和4/3這兩個(gè)非常簡(jiǎn)潔的比例。
六個(gè)半音之所以非常不和諧，則是因?yàn)?^(6/12)對(duì)應(yīng)無(wú)理數(shù)根號(hào)2，近乎無(wú)法轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)潔的整數(shù)比。
所以如果扣回本篇文章的標(biāo)題里，那個(gè)作為思考起點(diǎn)的問(wèn)題，Caesar要給大家的回答是：6個(gè)半音的音程極其難聽(tīng)，所以鋼琴上是絕對(duì)不允許一個(gè)黑鍵一個(gè)白鍵的交叉分布的，那樣幾乎整個(gè)鍵盤上都將是難聽(tīng)的三全音。
這就是今天份的Caesar冷門知識(shí)，比較長(zhǎng)也有點(diǎn)復(fù)雜，但還是希望慢慢看到這里的各位觀眾喜歡。我們有緣的話，下篇文章再見(jiàn)。
后記：
最初動(dòng)筆的時(shí)候，Caesar確實(shí)沒(méi)想到這一篇會(huì)寫這么長(zhǎng)（六千多字）。可能是因?yàn)橹R(shí)的原理雖然簡(jiǎn)單，但涉及的大量基本概念都不好用文字來(lái)解釋，比如說(shuō)音樂(lè)的音符和數(shù)學(xué)的數(shù)字。所以Caesar寫作的時(shí)候總是覺(jué)得“是不是要再解釋清楚一點(diǎn)才行？”無(wú)形中也增加了很多壓力。這一次也是相隔許久之后第一次動(dòng)筆寫東西，肯定有不足之處，希望大家見(jiàn)諒，Caesar以后也會(huì)多加改進(jìn)，下次再寫作知識(shí)介紹類的文章時(shí)，希望盡可能簡(jiǎn)潔而明快地把內(nèi)容呈現(xiàn)給大家啦。
非常感謝每一位閱讀的朋友，Caesar會(huì)繼續(xù)努力！
