線性遞歸序列

k階線性遞歸序列

計(jì)算機(jī)中信息表示為0,1序列,且運(yùn)算為模2運(yùn)算,故可將序列中的元看作域 $F_2=\Z_2$ 中的元

設(shè) $k\in Z_+$ , $F_2$ 中的一個(gè)序列 $s_0,s_1,s_2,\cdots$ 滿足：

$s_n=c_1s_{n-1}+c_2s_{n-2}+\cdots+c_ks_{n-k},n\ge k$ ,其中 $c_1,c_2,\cdots,c_{k-1}\in F_2$ 是一組給定元, $c_k=1$

則稱之為一個(gè)k階線性遞歸序列

$s_0,s_1,\cdots,s_{k-1}$ ,稱為初始值,初始值給定后,序列后所有元均可生成

令 $S(x)=s_0+s_1x+s_2x^2+\cdots$ ,稱為線性遞歸序列的生成函數(shù)

令 $f(x)=1+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_kx^k\in F_2[x]?$ ,稱為該序列的聯(lián)結(jié)多項(xiàng)式

則 $f(x)S(x)=(1+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_kx^k)(s_0+s_1x+s_2x^2+\cdots)?$

$=s_0+(s_1+c_1s_0)x+\cdots+(s_n+c_1s_{n-1}+c_2s_{n-2}+\cdots+c_ks_{n-k})x^n+\cdots$

$=s_0+(s_1+c_1s_0)x+\cdots+(s_{k-1}+c_1s_{k-2}+c_2s_{k-3}+\cdots+c_{k-1}s_0)x^{k-1}$

$=g(x)$

其中,由遞推關(guān)系, $x^k,x^{k+1},\cdots$ 的系數(shù)為0, $g(x)$ 的次數(shù) $\le k-1$

故 $S(x)={g(x)\over f(x)}$ ,令 $\widehat{f}(x)=x^kf({1\over x})=x^k+c_1x^{k-1}+\cdots+x+1$

假設(shè) $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k$ 為 $\widehat{f}(x)$ 在 $F_2$ 的擴(kuò)域中的k個(gè)根

則 $\widehat{f}(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_k)$

故 $f(x)=x^k\widehat{f}({1\over x})=(1-\alpha_1x)(1-\alpha_2x)\cdots(1-\alpha_kx)$

$S(x)={g(x)\over f(x)}={g(x)\over (1-\alpha_1x)(1-\alpha_2x)\cdots(1-\alpha_kx)}$

$={\beta_1\over 1-\alpha_1x}+{\beta_2\over 1-\alpha_2x}+\cdots+{\beta_k\over 1-\alpha_kx}$

$=\beta_1\sum\limits_{i=0}^\infty(\alpha_1x)^i+\beta_2\sum\limits_{i=0}^\infty(\alpha_2x)^i+\cdots+\beta_k\sum\limits_{i=0}^k(\alpha_kx)^i$

$=\sum\limits_{i=0}^\infty(\beta_1\alpha_1^i+\beta_2\alpha_2^i+\cdots+\beta_k\alpha_k^i)x^i$

比較系數(shù)可得

$s_i=\beta_1\alpha_1^i+\beta_2\alpha_2^i+\cdots+\beta_k\alpha_k^i,i=0,1,2,\cdots$

設(shè) $\widehat{f}(x)$ 是 $F_2$ 上的k次不可約多項(xiàng)式,所有根可表為

$\alpha_1=\alpha,\alpha_2=\alpha^2,\alpha_3=\alpha^{2^2},\cdots,\alpha_k=\alpha^{2^{k-1}}$ ,即 $\alpha$ 在 $F_{2^k}/F_2$ 中所有共軛元

跡

定義：設(shè) $\xi\in F_{2^k}$ ,則稱 $Tr_{F_{2^k}/F_2}(\xi)=\xi+\xi^2+\cdots+\xi^{2^{j-1}}$ 為 $\xi$ 相對(duì) $F_2$ 的跡,簡(jiǎn)寫作 $Tr(\xi)$

${g(x)\over f(x)}={\beta_1\over 1-\alpha x}+{\beta_2\over 1-\alpha^2x}+\cdots+{\beta_k\over 1-\alpha^{2^{k-1}}x}$

$g(x),f(x)\in F_2[x]$ ,將上式兩端的系數(shù)作用伽羅瓦自同構(gòu) $\xi\to \xi^2,\forall \xi\in F_{2^k}$

則 ${g(x)\over f(x)}={\beta_1^2\over 1-\alpha^2x}+{\beta_2^2\over 1-\alpha^{2^2}x}+\cdots+{\beta_k^2\over 1-\alpha x}$

上式左端有理函數(shù)表達(dá)為有段的有理分式表示法唯一

故 $\beta_2=\beta_1^2,\beta_3=\beta_1^{2^2},\cdots,\beta_k=\beta_1^{2^{k-1}}=Tr(\beta\alpha^i)$ ,稱為線性遞歸序列的跡表達(dá)式

顯然 $s_0,s_1,s_2,\cdots$ 的周期為元 $\alpha$ 的階

若 $\alpha^{p+i}=\alpha^i(i\ge 0)$ ,則 $s_{p+i}=s_i$ ,當(dāng) $f(x)$ 為本原多項(xiàng)式時(shí), $\alpha$ 的階為 $2^k-1$ ,此時(shí)序列的周期為 $2^k-1$ ,達(dá)到最大可能的周期,這類序列稱為m序列

跡表達(dá)式是研究序列性質(zhì)的有用工具

流密碼

在數(shù)字通信中,任一信息都可用一個(gè) $0,1$ 序列 $m=(m_0,m_1,m_2,\cdots)$ 表示,其中 $m_i=0或1$ ,流密碼的加密方法是取一個(gè)與m有相同長(zhǎng)度的 $0,1$ 序列 $K=(k_0,k_1,k_2,\cdots)$ ,將K與m按位模2相加：