當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)編排順序和過去最大的不同，我以為是幾何不再是從平面到立體，而是從生活到立體，再到平面幾何的新順序。
也就是說，正方體在正方形之前被認(rèn)識，圓球體在圓形之前被認(rèn)識……立方體是存在于生活中的，平面圖形是在此基礎(chǔ)上被認(rèn)識的。
但在“角”這個知識點(diǎn)上，又有所不同：在生活世界中實(shí)體的各種角，有平面幾何中的角，但沒有立體的角——圓錐是最接近立體意義上的角的，但它恰恰和角的定義相沖突，不屬于數(shù)學(xué)意義上的角。
我們在二年級設(shè)定的角的認(rèn)識，主要是這幾點(diǎn)：觀察生活和文化中的角，觸摸到一個角現(xiàn)象；把角數(shù)學(xué)化，從而得到平面幾何意義上的角；理解生活中角的大小和數(shù)學(xué)中角的大小的不同意義；延伸到對最小的角和最大的角的想象。
二年級的孩子在家長的引導(dǎo)下，在生活中發(fā)現(xiàn)如下真實(shí)的角：牛角、羊角、桌子角、墻角、電視角、門角、菱角……
他們還在詞語中還發(fā)現(xiàn)一些含“角”的詞語，諸如：觸角、號角、口角、嘴角、主角、配角、死角、元角分、獨(dú)角獸、獨(dú)角戲……
角的漢字，取象于牛角——這顯然是當(dāng)時最常見也最特征鮮明的角。由動物的特殊器官角，到一般事物、器物像角一樣的部位，這就是角概念的一次泛化。這時候，角的意義是語文上的，不是數(shù)學(xué)上的。
面對形形色色的可見的角，我們該如何用數(shù)學(xué)的方式來表達(dá)呢？正是這第一次表達(dá)，使得圓錐體離開了角的定義，在平面化的過程中，甚至最后連牛角，也不再屬于數(shù)學(xué)的角了。
這次數(shù)學(xué)化的過程，是直接在平面上表達(dá)“角”——如果經(jīng)由立體這一層，或許就會有不同于現(xiàn)在的定義。
在紙面（也就是平面幾何世界）上畫一個角，顯然具備三個要素：兩條邊，相交于一點(diǎn)，并從這一點(diǎn)出發(fā)，形成一個或大或小的角度。一直要到四年級，教材才精確地把這一點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，把那兩條邊稱作角的兩條邊——而且強(qiáng)調(diào)這兩條邊是射線，而不是直線或線段。在二年級，教材只是強(qiáng)調(diào)平直的線，實(shí)際上，學(xué)生往往下意識地理解為線段。這種下意識的理解，其實(shí)是對角的本質(zhì)的誤解。也就是說，學(xué)生并沒有真正把“角”數(shù)學(xué)化，而依然從生活的角度在理解角。
一個典型的例子，就是在預(yù)習(xí)中讓學(xué)生畫出大角和小角，學(xué)生用大的方桌表示大角，小的方桌表示小角。而且這一點(diǎn)，僅僅二年級的教材既不糾正，也難以糾正。我們知道，在大牛角、小牛角等生活的角認(rèn)識上，學(xué)生這樣理解是并無問題的。但是進(jìn)入數(shù)學(xué)之后，角意味著什么？此時角不是一個客觀實(shí)體，它也不是封閉的，在一定意義上，你并不能指出一個角究竟指的是什么。
所以大角和小角的討論，事實(shí)上是很容易陷入混亂的。這時候一方面要強(qiáng)調(diào)生活中的角和數(shù)學(xué)中的角的不同，另一方面，需要用變化來提示不變的東西：數(shù)學(xué)中角概念的本質(zhì)。
把角的一邊延伸，兩邊延伸，問角有沒有變化，這是一種辦法。學(xué)生顯然會認(rèn)為角產(chǎn)生了變化，那么這時候就要追問，角的一條邊或者兩條邊延長了，但這里有什么沒有產(chǎn)生變化？
學(xué)生顯然能夠發(fā)現(xiàn)角的開合度沒有發(fā)生變化。在此基礎(chǔ)上，用開合度的變化，才認(rèn)識角。任何兩根木棒一端固定起來，就成了類似圓規(guī)的東西。如果把一條邊固定起來（比如放在桌上），另一條邊擴(kuò)展開去，讓學(xué)生注意角的變化，這時候?qū)W生就得到了角大小的直觀。學(xué)生必然會贊同：這是角大小的變化，而剛才只是角邊長短的變化。
在此基礎(chǔ)上可以明確：角的兩條邊是可以往點(diǎn)的另一邊延長的，但它們的延長并不改變角的大小。角的大小，就是這兩條邊組成的開合度。
后面，除了尋找平面幾何圖形和立體幾何圖形中的各種角，還可以教學(xué)的，就是幾種最常見的角：直角、銳角、鈍角。
這時候，不能引進(jìn)度數(shù)的概念，而要繼續(xù)依賴于直觀，把角定義為有一定角度的圖形。也就是說，兩條邊相對往兩邊延伸時，就成了一條直的線，這時候，它就喪失了角這個概念開始時的意義。但在數(shù)學(xué)上，我們或者選擇把它理解為最大的角，或者把它理解為一個非角的極限，也就是說，無限小于它的那個角，就是最大的角。同理，兩條邊還在一起時，我們既可以理解為最小的角，也可以理解為認(rèn)識最小角的一個極限。當(dāng)然在后面的數(shù)學(xué)中，學(xué)生會擴(kuò)展自己的認(rèn)識，把這些都納入角的認(rèn)識中，但在此時，過早的納入將瓦解角的直觀性，并不總是有利的。在此基礎(chǔ)上，我們把方方正正的角叫直角，大于直角的叫鈍角，小于直角的叫銳角。
在非常的情況下，如果這時候出現(xiàn)平角或者零角，都是可以理解的，但顯然它們是此時擴(kuò)展的極限，本身只是界線，不是理解與把握的范圍。
到了四年級與角再度相逢時，情況就很不相同了。在教材中，角之前，把線從線段擴(kuò)充到射線和直線，在此基礎(chǔ)上，重新定義了角——也就是不再是兩條線段，而是兩條射線組成了角，角邊長的延伸，成了自然而然的事。
然后教材就安排了角大小的比較，為了更精確地表述大小，教材就直接引入了圓和360°。然后直接引進(jìn)了量角器，以及量角器的使用。
這樣的安排在知識的掌握上是沒有問題的，但在知識的理解上，卻顯得突兀：為什么不是100而是360？為什么是圓而不是正方形？再進(jìn)一步講，這時候的圓是完全脫離了它的母體“各種幾何圖形”的，角在幾何圖形中會有怎樣的呈現(xiàn)？符合怎樣的規(guī)律？這固然是安排到更高年級教授的知識，但讓角脫離了這個背景進(jìn)行單獨(dú)傳授，對于角的理解和認(rèn)識是并不恰當(dāng)?shù)摹?/p>
我們在前一節(jié)課后，讓學(xué)生試著用不的方式命名圖形中的角，以及理解它們之間的相互關(guān)系。
譬如上面左邊的圖形里，∠1+∠2 = ∠3，而必然∠3? >? ∠1，因?yàn)檎w大于局部。在右邊的圖形中，可以稱∠B和∠D，但不能稱∠A =? ∠C，因?yàn)橐訟和C為頂點(diǎn)的，都有三個角。哪三個角？這就帶來了角的更精確的命名，這是以后的知識，但這里閃現(xiàn)一下，看學(xué)生能不能精確命名，還是有挑戰(zhàn)的意義的。事實(shí)上，有學(xué)生精確地表達(dá)出了∠BAC? =? ∠ACD。甚至有一個學(xué)生說180°-∠ACD-∠CAD=∠D。當(dāng)然，老師這時候不得不暫時裝糊涂：180°是什么意思？學(xué)生回答說180°是平角。老師只能繼續(xù)裝糊涂：平角又是啥意思？180°從哪里來？你不能把書上的知識抄來，你得自己把知識的來由弄明白。
而在這節(jié)課前，還埋下的本堂課最后將要向后延伸的一個知識點(diǎn)。設(shè)計(jì)的題目是這樣的：“你能畫一個三個角加起來盡可能大的三角形嗎？試試，或者說說?！?/p>
大部分學(xué)生努力嘗試著，而少數(shù)古怪精靈的學(xué)生或者已經(jīng)提前學(xué)習(xí)的學(xué)生馬上表示：不可能，因?yàn)槿齻€角加起來一樣大。甚至有學(xué)生說，都是360°。
到底人們是如何表示和計(jì)量角的大小的？這就直接奔向了四年級角知識的關(guān)鍵：角的度量。
我們從直角三角形上的直角開始，發(fā)現(xiàn)兩個直角三角形拼起來，就成了一個長方形，把四個直角組合在一起，就正好把空間填滿，形成了一個最大的角。最大的角由四個直角構(gòu)成。那么我們用什么樣的工具來輔助度量角的大小呢。通過回顧角的性質(zhì)，我們知道角的大小與邊長無關(guān)，只與兩條邊的開合度有關(guān)，而在生活中，我們已經(jīng)有了一種與它非常相似的工具在應(yīng)用，這就是鐘表。鐘表的三根針，始終在扮演著幾個角的開合度大小，從最小，到最大——也就是整個圓的開合度。
那么鐘表又采取了怎樣的數(shù)值或者說計(jì)值方式呢？通過非常簡單地回顧鐘表是人類對時間的直觀把握，因?yàn)橐荒暧惺€月，所以12就成了時間計(jì)量中必須被整除的一個數(shù)，而一年約有365天，能被12整除的，是360，整除的結(jié)果是30，恰好接近一個月的天數(shù)。但是30不能被12整除，只有它的倍數(shù)60才能被12整除，所以時間最常見的計(jì)數(shù)就是60進(jìn)位。這就是鐘表的奧秘，而圓只是把這種思維方式，直接運(yùn)用在自身身上。于是人們規(guī)定一個圓為360°，也就是把圓360等分，第一份為1°。
原來如此。
在此基礎(chǔ)上，我們不忙著先去測量，在測量之前，我們先利用概念，來擴(kuò)充一下角的概念。
這時候，平角已經(jīng)不再是最大的角，最大的角是圓角。角也不再是有突出的圖形，而是一個純粹的數(shù)學(xué)規(guī)定。在這一規(guī)定中，它可以是0°，可以是360°，當(dāng)然更可以是180°，而直角理所當(dāng)然的是90°。銳角和鈍角，也都用數(shù)學(xué)的方式，作了大小的規(guī)定。從原來小于直角的角叫銳角，變成現(xiàn)在的0°<銳角<90°。
角的實(shí)際度量是一個操作問題，在示范和實(shí)戰(zhàn)的過程中，都并不難掌握。
在基本了解角的度量方法后，我們把熟練掌握放在了后面將不斷接觸的練習(xí)中，而把最初沒有解決的預(yù)習(xí)題，又提了上來：“你能畫一個三個角加起來盡可能大的三角形嗎？試試，或者說說?！?/p>
越來越多的學(xué)生傾向于不能，那么就請學(xué)生告訴同學(xué)為何不能。
一個學(xué)生說，你們把畫的三角形三個角剪下來，拼在一起，就是一個平角，所以是三角形的三個角加起來都是180°。
另一個學(xué)生說，我用量角器把畫出來的三個角都測量了，加起來正好是180°。
老師說，都很聰明，但方法不夠數(shù)學(xué)。因?yàn)闇y量可能不準(zhǔn)確，拼起來也可能和平角不完全一樣呢。怎樣用數(shù)學(xué)的辦法來證明？
學(xué)生思考。下課了。老師在三角形的頂上，畫了一條輔助線：這里有一個平角，它肯定是180°。但它和三角形的三個角，又有什么關(guān)系呢？
下課了。
