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最近在研究選址問題，順便就做了一個歸納整理。
這篇文章是第一部分，關于傳統(tǒng)的、基于統(tǒng)計學的選址。
之后會有另一篇，是關于機器學習、深度學習在現代的選址問題的應用。

以下內容純理論~~

1 選址問題

【來自百度】選址問題是運籌學中經典的問題之一。選址問題在生產生活、物流、甚至軍事中都有著非常廣泛的應用，如工廠、倉庫、急救中心、消防站、垃圾處理中心、物流中心、導彈倉庫的選址等。選址是最重要的長期決策之一，選址的好壞直接影響到服務方式、服務質量、服務效率、服務成本等，從而影響到利潤和市場競爭力，甚至決定了企業(yè)的命運。好的選址會給人民的生活帶來便利，降低成本，擴大利潤和市場份額，提高服務效率和競爭力，差的選址往往會帶來很大的不便和損失，甚至是災難，所以，選址問題的研究有著重大的經濟、社會和軍事意義。

所謂選址問題，就是指在規(guī)劃區(qū)域里選擇一個或多個設施的位置，使得目標最優(yōu)。
PS：這個“設施”可以是工廠、飯店等實體，為了統(tǒng)一，我們都稱呼它為設施。

從它的定義，我們可以抓住四個要素：設施、規(guī)劃區(qū)域、位置（距離）、目標，我們來一個個分析：

1.1 設施

按照設施的空間維度劃分，可以將選址問題分為：

1. 立體選址問題：設施的高度不能被忽略，如集裝箱裝箱問題。
2. 平面選址問題：設施的長、寬不能被忽略，如貨運站的倉位布局問題。
3. 線選址問題：設施的寬度不能被忽略，如在倉庫兩邊的傳送帶布局問題。
4. 點選址問題：設施可以被簡化為一個點，絕大多數時候我們遇到的都是這類問題。

還有，按照設施的規(guī)劃數量劃分，可以將選址問題分為：

1. 單設施選址
2. 多設施選址

1.2 規(guī)劃區(qū)域

按照規(guī)劃區(qū)域的結構劃分，可以將選址問題分為：

1. 連續(xù)選址問題：設施可以在給定范圍的任意位置選址，設施的候選位置為無窮多。
2. 離散選址問題：設施的候選位置是有限且較少的，實際中最常遇到這類問題。
3. 網格選址問題：規(guī)劃區(qū)域被劃分為許多的小單元，每個設施占據其中有限個單元。

1.3 位置

或許說距離會更合適，因為我們確定設施位置的目的，就是為了獲得設施與其他需求點的距離。
按照設施與需求點位置的關系，可以將所要獲取的距離分為：

1. 間接距離
   如下賦權有向圖，從點v₁到點v₇有許多條路徑，上面的數字代表了距離，不考慮中途的成本、時間等因素，如何選擇路線使得距離最短？（學過運籌學的同學應該都知道標號法吧）
   
2. 直接距離：
   如果沒有向上圖那樣特別給出，我們需要根據兩點坐標自行計算，一般可以選擇Lp距離作為兩點之間的距離，又稱閔式距離(Minkowski Distance)。Lp距離計算方式如下：
   d = (Σ(x_1i-x_2i)^p)^1/p

特別地，當：

• p=1：L1范式，又稱曼哈頓距離，在二維平面上 d=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|。假設在曼哈頓街區(qū)乘坐出租車從 P 點到 Q 點，白色表示高樓大廈，灰色表示街道，則下圖中紅線、藍線、黃線的行駛距離都是一樣的，都是曼哈頓距離。
  
• p=2：L2范式，又稱歐氏距離，定義于歐幾里得空間中，是最常見的距離度量方式，在二維平面上 d=((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²)^1/2，即兩點間的直線距離，上圖中的綠線。
  上面兩種距離用得最多，再介紹一個不太常用的距離：
• p=∞：切比雪夫距離（Chebyshev distance），在二維平面上 d=max(|x₁-x₂|, |y₁-y₂|)。玩過國際象棋的都知道，國王走一步能夠移動到相鄰的8個方格中的任意一個位置，那么國王從格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少的步數就是切比雪夫距離?？梢栽囋嚳矗聢D已經標注國王到達任意位置所需要的步數。
  

1.4 目標

我們的目標是找到最好的位置，那么什么是最好的位置呢，換句話說，該如何量化這個目標呢？距離最短、費用最少、利潤最大，或者其他定制的目標？
按照目標的數量，可以將選址問題分為：

1. 單目標選址問題：這個很好理解。
2. 多目標選址問題：實際的問題往往都是多目標規(guī)劃問題，比如既想距離盡可能短，又想要費用盡可能少，如何均衡這些多目標呢。

2 三個基本問題與模型

可能洋洋灑灑看了上面一堆，對于選址問題還是沒有一個清晰的概念，所以我整理了三個選址問題中的基本問題。而目前選址問題里的一些難題，都是它們的拓展（或者說延伸），比如無容量限制設施選址問題。

2.1 P中值問題 P-Median Problem

研究：在備選設施集合里，如何選擇p個設施，使所有需求點得到服務，并且需求點到其最近設施的加權距離總和最小。

這是一個MinSum問題，可由以下整數規(guī)劃模型表示：

應用場景：在物流領域應用得非常廣泛，加權距離代表了運輸成本，目標是總成本最少。

2.2 P中心問題 P-Center Problem

研究：在備選設施集合里，如何選擇p個設施，使所有需求點得到服務，并且每個需求點到其最近設施的最大距離最小。

這是一個MinMax問題，可由以下整數規(guī)劃模型表示（符號說明與上面類似）：

應用場景：應急設施的選址，比如警局、消防局、醫(yī)院，要求盡可能快地到達任意位置。

2.3 覆蓋問題 Covering Problem

覆蓋問題分為最大覆蓋問題和集覆蓋問題兩類。

1. 集覆蓋問題
   研究：在備選設施集合里，已知每個設施的服務范圍，如何選擇設施，使所有需求點得到服務，并且設施數p最小或成本最小。

2. 最大覆蓋問題
   研究：在備選設施集合里，已知每個設施的服務范圍，如何選擇p個設施，使得服務的需求點數最多或需求量最大。

應用場景：追求覆蓋面的場景，比如移動基站的選址、物流中心的選址。

3 算法

對于算法的解釋，我總是比較偷懶的，因為解釋起來很麻煩，所以就做個總結，感興趣的話再自行搜索哈。

按照求解的方式，可以分為：

3.1 定性求解

“定性”很好理解，不要求具有統(tǒng)計意義，但是憑借研究者的經驗以及有關的技術，能有效地洞察研究對象的性質，以及可能帶來的影響等。

一般是如下步驟：

1. 建立一套基于某些指標的、普適的評價體系
2. 對給定的多種方案進行綜合評價
3. 基于評價結果，選出相對最優(yōu)方案

常用的評價方法有：加權因素評分法、模糊綜合評判法、風險型方法、德爾菲法(Delphi)

定性方法有著明顯的缺點——受主觀影響極大。可實際過程中，很多東西都是無法定量的，比如政策、環(huán)境的影響~因此定性分析具有非常強的實際意義，往往與定量分析相輔相成。

3.2 定量求解

1. 解析解
   求解純數學模型，找到最優(yōu)方案。
   上述三個基本問題都是NP-Hard問題，在規(guī)模較小時可行，但隨著規(guī)模的增大，在多項式時間內無法獲得解析解。

2. 近似解
   常用的有松弛算法：將約束吸收到目標函數中。

3. 啟發(fā)式算法
   在狀態(tài)空間不斷搜索局部最優(yōu)，并更新狀態(tài)，循環(huán)往復直至無法再更新。

4. 仿真法
   對于大型、復雜的選址問題，通過仿真重現系統(tǒng)活動。

5. 其他……
   有一些算法被證明是可以較好地逼近最優(yōu)解，比如模擬退火、遺傳算法、神經網絡等。

3.2.1 貪婪取走啟發(fā)式算法

給大家介紹一個效率挺高的算法，不一定最好，但我看了還不錯，很多作者靠它水了一些文章哈哈哈~

目標是從N個備選位置里，選擇p個位置建設施，使得目標最優(yōu)。

1. 步驟1：初始化p個設施的位置，并計算目標函數值。
2. 步驟2：選擇一個設施點i，i∈p，和一個設施點j，j?p，交換組合新設施集合，計算目標函數。
3. 步驟3：循環(huán)步驟2，找到最優(yōu)交換組合，使得目標函數值減小最多，永久交換并更新狀態(tài)。
4. 步驟4：循環(huán)步驟3，直到再也無法找到最優(yōu)交換組合。

該算法的優(yōu)點和缺點：

• 優(yōu)點
  可并行，運算快。

• 缺點：由于每次都找局部最優(yōu)，因此算法的效果受初始位置影響很大。解決方法是循環(huán)整個算法n次，再選擇最優(yōu)組合。

因為時間太短，沒時間研究得太深，其他算法就不班門弄斧了~

下回試試用Python解決幾個實際問題。