在渲染中，有很多的計(jì)算是在視角空間中完成的。這是因?yàn)楣庹胀ǔＪ窃谶@個(gè)空間中計(jì)算的，否則，像一些依賴視角的效果，比如高光，將會(huì)比較難以實(shí)現(xiàn)。

因此，我們需要一種方法將法線轉(zhuǎn)換到視角空間。我們可以通過下面的寫法把一個(gè)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)換到視角空間：

vertexEyeSpace = gl_ModelViewMatrix * gl_Vertex;

那么，我們?yōu)槭裁床荒苤苯影堰@個(gè)應(yīng)用到法線向量呢？首先，法線是一個(gè)3維向量，而ModelView矩陣是一個(gè)4x4矩陣；其次，因?yàn)榉ň€是一個(gè)向量，所以我們只需要轉(zhuǎn)換它的方向。ModelView矩陣左上方的3x3子矩陣包含了方向的信息，那么我們?yōu)槭裁床荒苁褂眠@個(gè)子矩陣去轉(zhuǎn)換法線呢？

這可以通過下面的代碼很簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)：

normalEyeSpace = vec3(gl_ModelViewMatrix * vec4(gl_Normal,0.0));

但上面的代碼只在部分情況下可以正常工作。

讓我們來看下一個(gè)潛在的問題：

在上面的圖中，我們看到一個(gè)帶了一個(gè)法線和切線向量的三角形。在下面的圖中，顯示了如果ModelView矩陣包含了非均勻縮放會(huì)發(fā)生什么樣的偏差。

注意：如果是均勻縮放，那么法線的方向?qū)?huì)保持，雖然長(zhǎng)度會(huì)受到影響，但可以簡(jiǎn)單的通過標(biāo)準(zhǔn)化修復(fù)。

在上面的圖中，ModelView矩陣應(yīng)用到了所有的向量，包括法線，結(jié)果是顯而易見的錯(cuò)誤的：轉(zhuǎn)換后的法線不再與表面垂直了。

我們知道，一個(gè)向量可以表示為兩個(gè)點(diǎn)之間的差異。比如切線向量，它可以通過計(jì)算三角形一條邊上的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的差距來獲得。如果P₁和P₂是定義一條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，那么我們知道：

T = P₂ - P₁

如果把這個(gè)向量表示為包含4個(gè)元素且最后一個(gè)元素為0的元組，那么我們可以把這個(gè)等式兩邊都乘以ModelView矩陣

T * ModelView = (P₂ - P₁) * ModelView

結(jié)果是

T * ModelView = P₂ * ModelView - P₁ * ModelView
T' = P'₂ - P'₁

因?yàn)?strong>P'₁和P'₂為轉(zhuǎn)換后的三角形的頂點(diǎn)，所以T'仍然與三角形的邊相切。因此，ModelView保持了切線。但它卻沒有保持法線。

使用和T向量一樣的方法，我們可以找到兩個(gè)點(diǎn)Q₁和Q₂，讓以下等式成立

N = Q₂ - Q₁

主要的問題是，就如上面的圖所展示的那樣，由轉(zhuǎn)換后的的點(diǎn)定義的向量，Q₂ - Q₁，不一定仍然與邊垂直。法線向量不是如切線向量那樣，定義為兩個(gè)點(diǎn)之間的差距，它定義為垂直于一個(gè)表面的向量。

現(xiàn)在我們知道了，我們不能在所有情況下使用ModelView來轉(zhuǎn)換法線向量。那么我們應(yīng)該使用什么樣的矩陣呢？

假設(shè)G為一個(gè)3X3的矩陣，讓我們看看如何計(jì)算它來正確的轉(zhuǎn)換法線向量。

我們知道，在矩陣轉(zhuǎn)換之前，因?yàn)榍芯€和法線向量是垂直的，所以T.N = 0。我們也知道，轉(zhuǎn)換之后，它們也一定要垂直，所以N'.T'也一定要等于0。我們把ModelView的左上方的3x3矩陣稱為M矩陣，T可以安全的乘以M（T是一個(gè)向量，所以w元素是0）.

我們假設(shè)G是正確轉(zhuǎn)換法線向量N的矩陣，那么就有了下面的等式

N'.T' = (GN).(MT) = 0

把點(diǎn)乘轉(zhuǎn)換為叉乘，那么

(GN).(MT) = (GN)^T * (MT)

注意為了叉乘向量，第一個(gè)向量的轉(zhuǎn)置是必須的。我們知道兩個(gè)矩陣相乘的轉(zhuǎn)置，等于轉(zhuǎn)置后矩陣的相乘，但順序要相反，因此：

(GN)^T * (MT) = N^TG^TMT

我們前面已經(jīng)說過了N和T的點(diǎn)乘是0，所以如果

G^TM = I

那么我們有

N'.T' = N.T = 0

這正是我們要的，所以我們可以根據(jù)M來計(jì)算G。

G^TM = I <==> G = (M^-1)^T

因此M矩陣的逆矩陣的轉(zhuǎn)置，是正確轉(zhuǎn)換法線的矩陣。

前面我們說直接使用ModelView矩陣在部分情況下可以正常工作。當(dāng)ModelView左上方的3x3矩陣是正交矩陣的時(shí)候，我們有：

M^-1 = M^T ==> G == M

這是因?yàn)檎痪仃嚨霓D(zhuǎn)置與逆矩陣是一樣的。那么什么是正交矩陣呢？正交矩陣就是矩陣的每行/列都是單位長(zhǎng)度，并且互相垂直的矩陣。這意味這兩個(gè)向量，被正交矩陣轉(zhuǎn)換前后，它們之間的角度是一樣的，因此轉(zhuǎn)換后的法線依然垂直于切線。此外，它還保持了向量的長(zhǎng)度。

那么我們?nèi)绾伪ＷCM是正交的呢？只要我們限制我們的幾何變換僅限于旋轉(zhuǎn)和位移，比如在OpenGL程序中我們僅僅使用glRotate和glTranslate，不使用glScale，那么可以確保M是正交的。注意：gluLookAt也創(chuàng)建了一個(gè)正交矩陣。