2.1 數制與編碼

2.1.1 進位計數制及其相互轉化

r進制數：每個數碼可能出現r種字符，逢r進1，每個數碼位所用到的不同符號的個數稱為基數，r 進制的基數為r

一個r進制數( $K_{n}K_{n-1}\cdots K_2K_1K_0K_{-1}K_{-2}\cdots$ )可表示為
$K_nr^n+K_{n-1}r^{n-1}+\cdots+K_0r^0+K_{-1}r^{-1}+\cdots=\sum_{i=n}^{-m}{K_ir^i}$
八進制—> 二進制：每位八進制對應的3位二進制

十六進制—> 二進制：每位十六進制對應的4位二進制

二進制 —> 十六進制：4位一組，毎組轉換成對應的十六進制符號

二進制 —> 八進制：3位一組，毎組轉換成對應的八進制符號

十進制—> 任意進制：整數除基取余法，小數乘基取整法

Eg:75.3，75D = 1001011B，0.3D = 0.01001… B，過程如下圖所示

進制轉化.png

2.1.2 真值和機器數

真值：符合人類習慣的數字，即實際的帶符號的數值
機器數：數字實際存到機器里的形式，正負號需要被“數字化”

BCD碼大綱已經刪除，這里不寫出

2.1.3 字符與字符串

ASCII碼

ASCII碼.png

漢字表示：GB 2312-80 :漢字+各種符號共7445個

2.1.4 校驗碼

2.1.4.1 奇偶校驗碼

由若干位代碼組成的一個字叫碼字。將兩個碼字逐位進行對比，具有不同的位的個數稱為兩個碼字間的距離。一種編碼方案可能有若干個合法碼字，各合法碼字間的最小距離稱為“碼距”。

當d=1時，無檢錯能力；當d=2時，有檢錯能力；當d≥3時，若設計合理，可能具有檢錯、糾錯能力

奇偶校驗碼即由若干位有效信息再加上一個二進制位(校驗位)組成校驗碼，校驗碼的取值(0或1)，整個校驗碼（有效信息位和校驗位）中“1”的個數，為奇數時稱為奇校驗碼，為偶數時稱為偶校驗碼

偶校驗的硬件實現：各信息進行異或（模2加）運算，得到的結果即為偶校驗位

2.1.4.2 海明校驗碼

將n個信息位分為k份，分別對其進行奇偶校驗，校驗位數目
$2^k\ge n+k+1$
求解步驟

由公式確定海明碼的位數
確定校驗位的分布：校驗位 $P_i$ 放在海明位號為 $2^{i-1}$ 的位置上信息位按順序放到其余位置
求校驗位的值
糾錯

海明碼的檢錯能力2位、糾錯能力1位

海明碼求解.png

2.1.4.3 循環(huán)冗余校驗碼(CRC)

思想：數據發(fā)送、接受方約定一個“除數”；K個信息位+R個校驗位作為“被除數”，添加校驗位后需保證除法的余數為0；收到數據后，進行除法檢查余數是否為0

例：設生成多項式為G(x)=x3+x2+1，信息碼為101001

K為信息碼的位數=6，R=最高次冪=3，N=K+R=9

$G=1*x^3+1*x^2*0*x^1+1*x^0=1101$

信息碼左移R位，低位補0(101001000)對1101做除法運算，得到110101余數001(校驗位)

因此CRC=101001 001

其檢錯能力：

可檢測出所有奇數個錯誤；
可檢測出所有雙比特的錯誤；
可檢測出所有小于等于校驗位長度的連續(xù)錯誤；

2.2 定點數的表示和運算

定點數：小數點的位置固定，如996.007
浮點數：小數點的位置不固定，如9.96007*10^2

2.2.1 無符號數的概念

無符號數：整個機器字長的全部二進制位均為數值位，沒有符號位，相當于數的絕對值。

n位無符號數的表示范圍為 $(0,2^n-1)$

2.2.2 有符號數的定點表示

可用原碼、反碼、補碼三種方式來表示定點整數和定點小數。還可用移碼表示定點整數。

2.2.2.1 原碼

原碼：用尾數表示真值的絕對值，符號位“0/1”對應“正/負”

若機器字長為n+1位，則尾數占n位

源碼整數范圍 $-(2^n-1)\le x\le2^n-1$

源碼小數范圍 $-(1-2^{-n})\le 1-2^{-n}$

2.2.2.2 反碼

若符號位為0，則反碼與原碼相同
若符號位為1，則數值位全部取反

若機器字長n+1位，反碼整數的表示范圍 $-(2^n-1)\le x\le2^n-1$

真值0有+0 和-0 兩種形式

反碼小數的表示范圍： $-(1-2^{-n})\le 1-2^{-n}$

真值0有+0 和-0 兩種形式

2.2.2.3 補碼

正數的補碼=原碼
負數的補碼=反碼末位+1（要考慮進位）

定點整數補碼[x]補= 1,0000000表示 $-2^7$

定點小數補碼[x]補= 1.0000000表示x = -1

[+0]補= [-0]補= 00000000，即0只有1種表示形式

補碼整數的表示范圍 $-2^n\le x\le2^n-1$

補碼小數的表示范圍 $-1\le 1-2^{-n}$

2.2.2.4 移碼

移碼：補碼的基礎上將符號位取反

移碼只能用于表示整數，移碼整數的表示范圍與補碼相同

2.2.3 定點數的運算

2.2.3.1 移位運算

移位運算：通過改變各個數碼位和小數點的相對位置，從而改變各數碼位的位權，可用移位運算實現乘法、除法

原碼的算數移位——符號位保持不變，僅對數值位進行移位。

右移：高位補0，低位舍棄。若舍棄的位=0，則相當于÷2；若舍棄的位≠0，則會丟失精度
左移：低位補0，高位舍棄。若舍棄的位=0，則相當于×2；若舍棄的位≠0，則會出現嚴重誤差

反碼的算數移位——正數的反碼與原碼相同，負數的反碼數值位與原碼相反，負數反碼的移位運算規(guī)則如下

右移：高位補1，低位舍棄。
左移：低位補1，高位舍棄。

補碼的算數移位——正數的補碼與原碼相同，負數補碼=反碼末位+1導致反碼最右邊幾個連續(xù)的1都因進位而變?yōu)?，直到進位碰到第一個0為止。負數補碼的算數移位規(guī)則如下：

右移（同反碼）：高位補1，低低位舍棄。
左移（同原碼）：低位補0，高位舍棄。

規(guī)律——負數補碼中，最右邊的1及其右邊同原碼。最右邊的1的左邊同反碼

算數移位左移相當于×2；右移相當于÷2,規(guī)則如上
邏輯移位：左移和右移都是補0
循環(huán)移位：若不帶進位位(CF)，則用移出的位補上空缺，若有進位位，則最高位存放到進位位里

2.2.3.2 原碼的加減運算

原碼的加法運算：

正+正：絕對值做加法，結果為正
負+負：絕對值做加法，結果為負
正+負：絕對值大的減絕對值小的，符號同絕對值大的數
負+正：絕對值大的減絕對值小的，符號同絕對值大的數

原碼的減法運算，“減數”符號取反，轉變?yōu)榧臃ǎ?/p>

2.2.3.3 補碼的加減運算

補碼的加減運算.png

轉化小技巧

①數值位取反+1；
②負數補碼中，最右邊的1及其右邊同原碼。最右邊的1的左邊同反碼

2.2.3.4 溢出判斷

溢出時指運算結果超過了數所能表示的范圍

只有“正數+正數”才會上溢——正+正=負
只有“負數+負數”才會下溢——負+負=正

采用一位符號位

設A的符號為 $A_S$ ，B的符號為 $B_S$ ，運算結果的符號為 $S_S$ ，則溢出邏輯表達式為
$V = A _ SB_S\overline{S_S}+\overline{A_S}\overline{B_S}S_S$
若V=0，表示無溢出；若V=1，表示有溢出。

采用一位符號位，根據數據位進位情況判斷溢出

設符號位的進位 $C_S$ 最高數值位的進位 $C_1$
$V=C_S\oplus C_1$
若V=0，表示無溢出；V=1，表示有溢出。

采用雙符號位

正數符號為00，負數符號為11,記兩個符號位為 $S_{S1}S_{S2}$ ，
$V=S_{S_1}\oplus{S_{S2}}$

$S_{S1}S_{S2}=00$ 表示為正數，無溢出

$S_{S1}S_{S2}=01$ 表示正溢出

$S_{S1}S_{S2}=11$ 表示為負數，無溢出

$S_{S1}S_{S2}=10$ 表示為負溢出

2.2.3.5 符號擴展

定點整數的符號擴展：在原符號位和數值位中間添加新位，正數都添0；負數原碼添0，負數反、補碼添1
定點小數的符號擴展：在原符號位和數值位后面添加新位，正數都添0；負數原、補碼添0，負數反碼添1

2.2.3.6 原碼的乘法運算

對兩個原碼
$[x]_原=x_sx_1x_2\cdots x_n,[y]_原=y_1y_2\cdots y_n$

符號位單獨處理，符號位結果為 $x_s\oplus y_s$
數值位取絕對值進行乘法計算,實現方法：先加法再移位，重復n次

當前位=1，則ACC加上被乘數
當前位=0，則ACC加上0

原碼一位乘法.png

2.2.3.7 補碼乘法運算

n輪加法、算數右移，加法規(guī)則如下：

輔助位- MQ中最低位= 1時，(ACC)+[x]補
輔助位- MQ中最低位= 0時，(ACC)+0
輔助位- MQ中最低位= -1時，(ACC)+[-x]補

補碼一位乘法.png

2.2.3.8 原碼除法運算

恢復余數法，實現方法：上商0/1，得到余數，余數末尾補0

恢復余數法.png

加減交替法：當余數為負時商0，并左移，再+|除數|

加減交替法.png

2.2.3.9 補碼除法運算

余數和除數同號，商1，余數左移一位減去除數；余數和除數異號，商0，余數左移一位加上除數。重復n次

被除數和除數同號，則被除數減去除數；異號則被除數加上除數。

補碼除法.png

2.2.4 C語言種的整數類型和類型轉化

C語言中的定點整數是用補碼來存儲的

無符號數與有符號數的類型轉化

int main(){
    short x = -4321;
    unsigned short y = (unsigned short)x;
    printf("x=%d,y=%d",x,y);  //output:x=-4321,y=61215
}

可以看出來，轉化不改變數據內容，改變解釋方式

不同類型長整數轉化

int main(){
    int x = 165537, u = -34991;
    short y = (short)x, v=(short)u;
    printf("x=%d,y=%d\n",x,y); //output:x=165537,y=-31071
    printf("u=%d,v=%d\n",u,v); //output:u=-34991,v=30545
}

長整數變短整數：高位截斷，低位保留

短整數變長整數：符號擴展

2.2.5 數據的存儲和排列

數據的存儲和排列.png

2.3 浮點數的表示和運算

2.3.1 浮點數的表示

2.3.1.1 浮點數的表示格式

浮點數的真值一般表示為
$N=r^E×M$
其中，r是浮點數階碼的底，與尾數基數相同，E稱為階碼，M稱為尾數

階碼E反映浮點數的表示范圍及小數點的實際位置；
尾數M的數值部分的位數n反映浮點數的精度。

尾數給出一個小數，階碼指明了小數點要向前/向后移動幾位。

浮點數.png

2.3.1.2 浮點數的規(guī)格化

規(guī)格化浮點數：規(guī)定尾數的最高數值位必須是一個有效值。

左規(guī)：當浮點數運算的結果為非規(guī)格化時要進行規(guī)格化處理，將尾數算數左移一位，階碼減1。

右規(guī)：當浮點數運算的結果尾數出現溢出（雙符號位為01或10）時，將尾數算數右移一位，階碼加1。

用原碼表示的尾數進行規(guī)格化：

正數為0.1××…×的形式，其最大值表示為0.11…1；最小值表示為0.10…0。
尾數的表示范圍為 $1/2≤M≤(1?2^{?n})$ 。
負數為1.1××…×的形式，其最大值表示為1.10…0；最小值表示為1.11…1。
尾數的表示范圍為 $?(1?2^{?n})≤M≤?1/2$ 。

用補碼表示的尾數進行規(guī)格化：

正數為0.1××…×的形式，其最大值表示為0.11…1；最小值表示為0.10…0。
尾數的表示范圍為 $1/2≤M≤(1?2^{?n})$ 。
負數為1.0××…×的形式，其最大值表示為1.01…1；最小值表示為1.00…0。
尾數的表示范圍為 $?1≤M≤?(1/2+2^{?n})$ 。

2.3.1.3 IEEE 754標準

IEEE 754標準.png

階碼真值=移碼-偏移量

圖片.png

2.3.2 浮點數的加減運算

浮點數的加減運算.png

2.4 算術邏輯單元(ALU)

2.4.1 串行加法器和并行加法器

一位全加器

全加器(FA)是最基本的加法單元，有加數( $A_i$ )，加數( $B_i$ )與低位傳來的進位( $C_{i-1}$ )三個輸入，有本位和向高位的進位共兩個輸出

一位全加器.png

輸入公式為
$S_i=A_i\oplus B_i \oplus C_{i-1},C_i=A_iB_i+(A_i\oplus B_i)C_{i-1}$

串行加法器

只有一個全加器，數據逐位串行送入加法器中進行運算。進位觸發(fā)器用來寄存進位信號，以便參與下一次運算。

并行加法器

把n個全加器串接起來，就可進行兩個n位數的相加。

并行加法器.png

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計算機組成原理(二)數據的表示和運算

計算機組成原理(二)數據的表示和運算

2.1 數制與編碼

2.1.1 進位計數制及其相互轉化

2.1.2 真值和機器數

2.1.3 字符與字符串