2021-04-21 四元數(shù)簡介

四元數(shù)創(chuàng)始人是愛爾蘭數(shù)學家 哈密爾頓，起因是為了研究復數(shù)在三維空間的推廣物；據(jù)說是某個橋上散步突然領(lǐng)悟到四元數(shù)核心公式，但實際早年在高斯的手稿中就出現(xiàn)過類似公式而未發(fā)表

四元數(shù)看似簡單，實際上內(nèi)涵十分豐富，哈密爾頓花了10余年研究四元數(shù)，寫下了800多頁的文章。

基本公式如下i,j,k是三個不同的虛單位
i^2=j^2=k^2=-1
ij=k, jk=i,ki=j

除了以上基本公式之外，我們不加證明的假設(shè)
對任意實數(shù)x,有 xi=ix ,xj=jx,xk=kx ，并把這個也并入基本公式

一般四元數(shù)表示法為 s+xi+yj+zk 其中s,x,y,z為實數(shù);s稱為該四元數(shù)的實部
四元數(shù)除了乘法交換律不滿足之外，滿足加法交換律，加法結(jié)合律，乘法分配率和乘法結(jié)合律

下面我們把 基本公式 和四元數(shù)滿足的 計算律 作為公理，來推導四元數(shù)的一些性質(zhì)。

下文中，我們一般的用，x,y,z,s表示實數(shù)，用p,q等表示一般的四元數(shù)，用i,j,k表示虛單位 ,用\vec u ,\vec v等表示實部為0的四元數(shù) ; 同時，顯然所有這些都是四元數(shù)

1,首先,根據(jù)基本公式:
ji=(-1)j(-1)i =(-1)jkki=(-1)ij =-ij = -k;
類似，可得 kj = -i , ik = -j

2, 給定兩個實部為0的四元數(shù):\vec v_1 = x_1i+y_1j+z_1k, \vec v_2 = x_2i+y_2j+z_2k 其乘積為:
\vec v_1\vec v_2
=(x_1i+y_1j+z_1k)(x_2i+y_2j+z_2k)
= -(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)
+ (x_1y_2-x_2y_1)k +(y_1z_2-y_2z_1)i +(z_1x_2-x_2z_1)j \quad (1)

如果我們記
\vec v_1 \cdot \vec v_2
=(x_1i+y_1j+z_1k) \cdot (x_2i+y_2j+z_1k)
:=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 \quad (2)

\vec v_1 \times \vec v_2
=(x_1i+y_1j+z_1k)\times (x_2i+y_2j+z_2k)
:= (x_1y_2-x_2y_1)k +(y_1z_2-y_2z_1)i +(z_1x_2-x_2z_1)j \quad (3)
[注:可以看出這些與向量點乘和叉乘表現(xiàn)形式完全相同,但是除了表現(xiàn)形式之外，我們在這里暫時還不能認為它們有任何實質(zhì)上一樣的地方]

同時，把任意四元數(shù)q = s+xi+yj+zk分解為兩部分:
s+xi+yj+zk = s+(xi+yj+zk) = s+\vec v

結(jié)合(1),(2),(3)，可以得到:
q_1q_2
= (s_1+\vec v_1) (s_2+\vec v_2)
=s_1s_2 + s_1\vec v_2 + s_2\vec v_1 + \vec v_1 \vec v_2
= s_1s_2+ s_1\vec v_2 + s_2\vec v_1 - \vec v_1\cdot \vec v_2 + \vec v_1\times \vec v_2
= (s_1s_2-\vec v_1\cdot \vec v_2)+(s_1\vec v_2+s_2\vec v_1+\vec v_1\times \vec v_2)

就得到了經(jīng)典的四元數(shù)乘法公式

下面給出共軛四元數(shù)的定義：
給定四元數(shù) q= s+\vec v
其共軛四元數(shù)為: \overline q = s-\vec v

四元數(shù)的范數(shù)為
設(shè)q= s+\vec v = s+xi+yj+zk
\Vert q \Vert := \sqrt{s^2+x^2+y^2+z^2}

據(jù)此，我們可以得到公式, \Vert q \Vert = \sqrt{q\overline q} = \sqrt{\overline q q}
證明:
q\overline q = (s+\vec v)(s-\vec v)
= (ss+\vec v\cdot \vec v)+(s(-\vec v)+s\vec v + \vec v \times (-\vec v))
= (ss+xx+yy+zz) \quad (4)
將\vec v和-\vec v對換，可得:
\overline q q = (ss+xx+yy+zz) \quad (5)
證明完畢

范數(shù)為1的四元數(shù)稱為單位四元數(shù)

四元數(shù)q的逆記為 q^{-1}
其定義為: q^{-1}:= \overline q/\Vert q \Vert ^2
根據(jù)(4),(5)，有 qq^{-1} = q^{-1}q = 1

至此，我們完成了四元數(shù)基本公式的推理，四元數(shù)可以表示三維空間的旋轉(zhuǎn)，并且可以進行球面線性插值，關(guān)于三維空間旋轉(zhuǎn)以及四元數(shù)相關(guān)的體系 要做完整全面的論述較為復雜，涉及到很多數(shù)學知識，筆者暫時沒有時間梳理這一切，因此，關(guān)于旋轉(zhuǎn)和四元數(shù)插值暫時先引入兩個比較好的外鏈，利用上文的基本公式，不難理解這里面的論述

四元數(shù)旋轉(zhuǎn):
https://zhuanlan.zhihu.com/p/78987582
四元數(shù)插值
https://zhuanlan.zhihu.com/p/343095440

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