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我們?cè)缦纫呀?jīng)在《報(bào)童問(wèn)題》一文中介紹了這個(gè)經(jīng)典的商品采購(gòu)模型。文中的推導(dǎo)略有些繁復(fù)。為了便于理解，本文將給出一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的解法。
問(wèn)題
我們還是沿用前文的記號(hào)。問(wèn)題定義如下：
每天早上，報(bào)童以批發(fā)價(jià) 
元/份采購(gòu)當(dāng)天的報(bào)紙，然后以零售價(jià) 
元/份售賣。如果當(dāng)天報(bào)紙沒(méi)有賣完，則以 
元/份的價(jià)格賣給廢品回收站。不失一般性，假設(shè) 
。用隨機(jī)變量 
表示當(dāng)天的需求量，并已知其概率分布。求使得期望收益最大的采購(gòu)量 
。
求解
收益為總銷售額減去總成本：
![\begin{aligned} \pi(x, D) &= p\cdot \min(x, D)+s\cdot\max(x-D, 0)-c\cdot x\\ &=p\cdot \min(x, D)+s\cdot[\max(x, D) - D]-c\cdot x\\ &=p\cdot \min(x, D)+s\cdot[x+D - \min(x, D) - D]-c\cdot x\\ &=(p-s)\cdot \min(x, D)-(c-s)\cdot x \end{aligned}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Baligned%7D%20%5Cpi(x%2C%20D)%20%26%3D%20p%5Ccdot%20%5Cmin(x%2C%20D)%2Bs%5Ccdot%5Cmax(x-D%2C%200)-c%5Ccdot%20x%5C%5C%20%26%3Dp%5Ccdot%20%5Cmin(x%2C%20D)%2Bs%5Ccdot%5B%5Cmax(x%2C%20D)%20-%20D%5D-c%5Ccdot%20x%5C%5C%20%26%3Dp%5Ccdot%20%5Cmin(x%2C%20D)%2Bs%5Ccdot%5Bx%2BD%20-%20%5Cmin(x%2C%20D)%20-%20D%5D-c%5Ccdot%20x%5C%5C%20%26%3D(p-s)%5Ccdot%20%5Cmin(x%2C%20D)-(c-s)%5Ccdot%20x%20%5Cend%7Baligned%7D)
這里利用了 %20%2B%20%5Cmin(x%2C%20D)%20%3D%20x%2BD)
。
收益的期望為
![\begin{aligned} \mathbb{E}[\pi(x, D)] &= (p-s)\cdot \mathbb{E}[\min(x, D)]-(c-s)\cdot x\\ &= (p-s)\cdot \int_0^{+\infty}\min(x, d) f(d)\mathrmu0z1t8osd-(c-s)\cdot x \end{aligned}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Baligned%7D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5B%5Cpi(x%2C%20D)%5D%20%26%3D%20(p-s)%5Ccdot%20%5Cmathbb%7BE%7D%5B%5Cmin(x%2C%20D)%5D-(c-s)%5Ccdot%20x%5C%5C%20%26%3D%20(p-s)%5Ccdot%20%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cmin(x%2C%20d)%20f(d)%5Cmathrm%7Bd%7Dd-(c-s)%5Ccdot%20x%20%5Cend%7Baligned%7D)
其中 )
為隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)。
為使期望收益最大，我們令
![\begin{aligned} \frac{\partial \mathbb{E}[\pi(x, D)]}{\partial x} & = 0\\ &=(p-s)\cdot \frac{\partial}{\partial x}\left( \int_0^{+\infty}\min(x, d)f(d)\mathrmu0z1t8osd\right)-(c-s)\\ &=(p-s)\cdot \frac{\partial}{\partial x}\left( \int_0^{x}d\cdot f(d)\mathrmu0z1t8osd+\int_x^{+\infty}x\cdot f(d)\mathrmu0z1t8osd\right)-(c-s)\\ &=(p-s)\cdot \left[ \int_0^x\frac{\partial (d\cdot f(d))}{\partial x}\mathrmu0z1t8osd+\int_x^{+\infty}\frac{\partial (x\cdot f(d))}{\partial x}\mathrmu0z1t8osd\right]-(c-s)\\ &=(p-s)\cdot \int_x^{+\infty}f(d)\mathrmu0z1t8osd-(c-s)\\ &=(p-s)\cdot [1-F(x)]-(c-s)\\ \end{aligned}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Baligned%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cmathbb%7BE%7D%5B%5Cpi(x%2C%20D)%5D%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%26%20%3D%200%5C%5C%20%26%3D(p-s)%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cleft(%20%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cmin(x%2C%20d)f(d)%5Cmathrm%7Bd%7Dd%5Cright)-(c-s)%5C%5C%20%26%3D(p-s)%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cleft(%20%5Cint_0%5E%7Bx%7Dd%5Ccdot%20f(d)%5Cmathrm%7Bd%7Dd%2B%5Cint_x%5E%7B%2B%5Cinfty%7Dx%5Ccdot%20f(d)%5Cmathrm%7Bd%7Dd%5Cright)-(c-s)%5C%5C%20%26%3D(p-s)%5Ccdot%20%5Cleft%5B%20%5Cint_0%5Ex%5Cfrac%7B%5Cpartial%20(d%5Ccdot%20f(d))%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dd%2B%5Cint_x%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20(x%5Ccdot%20f(d))%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dd%5Cright%5D-(c-s)%5C%5C%20%26%3D(p-s)%5Ccdot%20%5Cint_x%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df(d)%5Cmathrm%7Bd%7Dd-(c-s)%5C%5C%20%26%3D(p-s)%5Ccdot%20%5B1-F(x)%5D-(c-s)%5C%5C%20%5Cend%7Baligned%7D)
其中 )
為隨機(jī)變量 的累積分布函數(shù)。解上式得
%20%3D%20%5Cfrac%7Bp-c%7D%7Bp-s%7D%20%5Cequiv%5Cgamma)
即為前文解得的臨界分位數(shù)（Critical Fractile）。使得期望收益最大的采購(gòu)量為
)
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