這一期講動(dòng)力系統(tǒng)

在準(zhǔn)備這一期教程的過(guò)程中我找到了一個(gè)挺有意思的課件，推薦給大家:
動(dòng)力系統(tǒng)建模-唐云（清華大學(xué)教授）
里面講到了一個(gè)很吸引目光的名詞：
蝴蝶效應(yīng)
大家應(yīng)該都知道蝴蝶效應(yīng)是個(gè)什么玩意兒，但是蝴蝶效應(yīng)是怎么產(chǎn)生的呢？
這次先不講蝴蝶效應(yīng)，我們先就這個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)來(lái)講一講,算是個(gè)引子：

什么叫動(dòng)力系統(tǒng)呢，先說(shuō)最簡(jiǎn)單的動(dòng)力系統(tǒng)，講起來(lái)也是個(gè)很熟的公式：

a_n+1 = r × a_n + b(其中r≠1）

這不還是遞推公式嗎？

和上期的差分方程那個(gè)遞推公式不同的是，這個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)有個(gè)被稱為平衡點(diǎn)的概念。

廢話少說(shuō)，先看一個(gè)最簡(jiǎn)單的實(shí)例：

實(shí)例1--血液中藥物水平試驗(yàn)

有一個(gè)醫(yī)生給病人開(kāi)藥，什么藥我不記得了，也不重要，就叫A吧，要求病人血液中的鈣離子濃度穩(wěn)定在一個(gè)有效的值，求如何開(kāi)藥？
前提：
A在病人體內(nèi)原本就有。
不服藥的情況下，每一周的A濃度水平是前一周的一半。
列式：
a_n+1 = 0.5 × a_n + b
這里為了方便畫(huà)圖我們先假設(shè)b = 1，先畫(huà)個(gè)圖看看。
那么式子變成：a_n+1 = 0.5 × a_n + 1
接下來(lái)我們分別取
a₀ = 1
a₀ = 2
a₀ = 3
畫(huà)圖

python代碼如下：

# 先畫(huà)a<sub>0</sub> = 1：
import matplotlib.pyplot as plt
def drawCurve(Reagentperday,CurrentLevel):
    RegentLevel = []
    for i in range(15):
        RegentLevel.append(CurrentLevel)
        CurrentLevel = CurrentLevel * 0.5 + Reagentperday
    Time = [i for i in range(15)]
    print(Time,RegentLevel)
    plt.plot(Time, RegentLevel)
for i in range(1,4):
        drawCurve(1,i)

畫(huà)出的圖形是這樣的：

藥物濃度水平隨著時(shí)間變化圖像

這個(gè)時(shí)候就出現(xiàn)了一個(gè)很神奇的事情：
無(wú)論初始水平是多少，采用這種服藥方式的話，最終藥物水平都會(huì)收斂于2.0這個(gè)值，即所謂平衡點(diǎn)

是這樣的嗎，我們?cè)俣喈?huà)幾條：

藥物初始濃度為1~9時(shí)水平變化

看來(lái)確實(shí)有這樣的規(guī)律。

那么變一下每天服藥的數(shù)量之后呢，我們將每天的服藥量作為變量來(lái)畫(huà)一下：

固定初始值變動(dòng)每日服藥量時(shí)

似乎對(duì)應(yīng)每個(gè)服藥方案都會(huì)有一個(gè)平衡點(diǎn)。而且我們可以看到，對(duì)于每日服藥量±1的變動(dòng)會(huì)引起平衡點(diǎn)±2的變化。
是不是呢，我們?cè)佼?huà)一下不同服藥方案在不同初始濃度下的圖像，得到下面這個(gè)酷炫的圖形：

每日服藥量與初始值都發(fā)生變化時(shí)

這個(gè)地方可能是我顯卡有問(wèn)題，截出來(lái)的圖不是很清晰

究竟是為什么呢？

下一期我們講講為什么，主要是依據(jù)文章開(kāi)頭貼出來(lái)的動(dòng)力系統(tǒng)建模-唐云（清華大學(xué)教授）的ppt來(lái)用Python代碼講解。

就這樣結(jié)束了嗎？？
熟悉高數(shù)的人肯定大呼上當(dāng)。
因?yàn)?br> a_n+1 = r × a_n + b
這個(gè)式子可以寫(xiě)成：
a_n+1 + b/(r-1) = r × a_n + b + b/(r-1)
a_n+1 + b/(r-1) = r × [a_n +b/(r-1)]

可以判定[a_n + b/(r-1)]是一個(gè)公比為r的等比數(shù)列，當(dāng)r<1，且首項(xiàng)≠0時(shí)，必有a收斂于[a₀+b/(r-1)]/(1-r)

動(dòng)力系統(tǒng)就這么簡(jiǎn)單嗎？

這只是一次的動(dòng)力系統(tǒng)，那么二次的呢……