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本章涉及到的知識(shí)點(diǎn)清單：

1、boosting模式

2、集成學(xué)習(xí)模型的偏差和方差

3、bagging的偏差和方差

4、boosting的偏差和方差

5、XGBoost的基礎(chǔ)模型

6、XGBoost的目標(biāo)函數(shù)

7、優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

8、樹的函數(shù)表達(dá)式的拆分

9、模型的復(fù)雜度定義

10、繼續(xù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

11、求解目標(biāo)函數(shù)極值

12、樹節(jié)點(diǎn)分裂算法

13、XGBoost的算法步驟

14、案例演示

15、XGBoost的優(yōu)點(diǎn)

一、boosting模式

boosting屬于集成學(xué)習(xí)框架之一，與bagging類似，boosting也不再是用單一的模型來進(jìn)行預(yù)測(cè)，而是組合若干弱學(xué)習(xí)器來產(chǎn)生一個(gè)強(qiáng)學(xué)習(xí)器

boosting：整個(gè)訓(xùn)練過程呈階梯狀，弱學(xué)習(xí)器按照次序逐一進(jìn)行訓(xùn)練，與bagging不同在于每個(gè)弱學(xué)習(xí)器的訓(xùn)練集，都按照某種策略進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，最后對(duì)所有弱學(xué)習(xí)器的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行線性綜合來產(chǎn)生最終的預(yù)測(cè)結(jié)果。即：

boosting模型

boosting有如下特點(diǎn)：

（1）所有弱學(xué)習(xí)器的學(xué)習(xí)過程均依賴于同一份訓(xùn)練集結(jié)果，訓(xùn)練集在每個(gè)弱學(xué)習(xí)器訓(xùn)練完成后，都會(huì)按照同一策略更新轉(zhuǎn)化

（2）所有弱學(xué)習(xí)器的訓(xùn)練過程是串行化的，即當(dāng)前弱學(xué)習(xí)器訓(xùn)練的參數(shù)依賴于上一個(gè)弱學(xué)習(xí)器訓(xùn)練的結(jié)果

（3）所有弱學(xué)習(xí)器對(duì)于訓(xùn)練集的每個(gè)樣本都有相同的初始化權(quán)重

（4）當(dāng)每個(gè)弱學(xué)習(xí)器學(xué)習(xí)完，而對(duì)于那些預(yù)測(cè)結(jié)果錯(cuò)誤的樣本會(huì)采用某個(gè)策略來增加其權(quán)重

（5）boosting總是更加關(guān)注被錯(cuò)誤預(yù)測(cè)的弱規(guī)則

關(guān)于boosting算法比較常見的有：AdaBoost、GBDT以及本文分析的XGBoost

二、集成學(xué)習(xí)模型的偏差和方差

偏差：描述模型的預(yù)測(cè)值和樣本的真實(shí)值之間的差異，反映模型的準(zhǔn)確度

方差：描述模型的預(yù)測(cè)值作為隨機(jī)變量的離散程度，反映模型的過擬合能力

這里我們可以用期望這個(gè)統(tǒng)計(jì)量來描述模型的偏差

由方差和協(xié)方差的基本定義出發(fā)：

方差的定義

協(xié)方差的定義

對(duì)于集成學(xué)習(xí)模型，通過計(jì)算弱學(xué)習(xí)器模型的期望和方差，我們可以得到模型整體的期望和方差。而且不論是bagging還是boosting，其弱學(xué)習(xí)器都是線性組成的，我們?cè)O(shè)每個(gè)弱學(xué)習(xí)器為 $f_{i}$ ，總共有 $m$ 個(gè)弱學(xué)習(xí)器， $f_{i}$ 對(duì)應(yīng)的權(quán)重為 $r_{i}$ ， $F$ 為整個(gè)模型

則模型的期望 $E(F)$ 為：

模型的期望

模型的方差 $var(F)$ 為：

模型的方差

這里需要用到二項(xiàng)展開公式

二項(xiàng)展開

帶入模型方差展開得

模型的方差

我們?cè)僖?個(gè)統(tǒng)計(jì)量：標(biāo)準(zhǔn)差 $\sigma$ 和相關(guān)系數(shù) $\rho$ ，用來代表整體模型的標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)，其基本定義為：

標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)的定義

將 $\sigma$ 和 $\rho$ 帶入模型方差，得

模型的方差

推導(dǎo)至此，我們得到了集成學(xué)習(xí)整體模型的期望 $E(F)$ 和方差 $var(F)$ 的數(shù)學(xué)表達(dá)式

集成學(xué)習(xí)模型的期望和方差

集成學(xué)習(xí)模型的整體偏差和方差的關(guān)系可形象的展示為：

集成學(xué)習(xí)模型的整體偏差和方差

接下來我們分別討論在bagging或boosting算法下模型整體的期望和方差

三、bagging的期望和方差

對(duì)于bagging來說，每個(gè)弱學(xué)習(xí)器的權(quán)重 $r_{i}$ 都為 $\frac{1}{m}$ ，且每個(gè)弱學(xué)習(xí)器訓(xùn)練的樣本都是從原始樣本采取有放回式隨機(jī)抽樣，故每個(gè)弱學(xué)習(xí)器的期望 $E(f_{i})$ 近似相等為 $\mu$

則bagging的期望為：

bagging的期望

bagging的方差為：

bagging的方差

比較集成學(xué)習(xí)模型的期望和方差，可以總結(jié)出bagging：

（1）模型整體的期望近似等于單個(gè)弱學(xué)習(xí)器的期望

（2）隨著訓(xùn)練的進(jìn)行，模型整體的方差降低

我們也可以看到，隨機(jī)森林(Random Forest)采取對(duì)訓(xùn)練集的特征進(jìn)行隨機(jī)抽樣的策略，使得各個(gè)弱學(xué)習(xí)器的相關(guān)性降低，從而達(dá)到減少方差的效果

四、boosting的偏差和方差

對(duì)于boosting來說，訓(xùn)練集抽樣是強(qiáng)相關(guān)的，即模型的相關(guān)系數(shù) $\rho$ 近似等于1

則boosting的期望為：

boosting的期望

boosting的方差為：

boosting的方差

比較集成學(xué)習(xí)模型的期望和方差，可以總結(jié)出boosting：

（1）剛初始化時(shí)，模型整體的期望較低，方差較低

（2）隨著訓(xùn)練的進(jìn)行，模型整體的期望升高，方差也增大

五、XGBoost的基礎(chǔ)模型

XGBoost（Extreme Gradient Boosting）是GBDT的一種高效實(shí)現(xiàn)，其弱學(xué)習(xí)器除了可以是CART回歸樹，也可以是線性分類器。這里我們用CART樹來當(dāng)作弱學(xué)習(xí)器

考慮場景：我們要預(yù)測(cè)一家人對(duì)電子游戲的喜好程度，為此可以構(gòu)建2顆CART樹

第1顆CART樹：考慮到年輕和年老相比，年輕更可能喜歡電子游戲，故使用“年齡”作為第1個(gè)特征來二分樣本集；再考慮到男性和女性相比，男性更喜歡電子游戲，故使用“性別”作為第2個(gè)特征來二分子樣本集，最后逐一給各人在電子游戲喜好程度上打分

第2顆CART樹：考慮到喜歡電子游戲的人每天使用電腦的頻率較高，故使用“每天使用電腦的頻率”作為特征來二分子樣本集，最后逐一給各人在電子游戲喜好程度上打分

場景CART樹

對(duì)于上述兩顆CART樹，我們要計(jì)算小男孩的預(yù)測(cè)分?jǐn)?shù)，只需在每顆CART樹中找到小男孩落在的樹葉位置，將樹葉對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)累加即可

上述物理場景的行為過程如下：

（1）有K顆CART樹

（2）對(duì)于任意n維樣本 $x_{i}$ ，找到其在每顆樹中所在葉子的位置和該葉子的權(quán)重

（3）將這些權(quán)重相加，作為 $x_{i}$ 最后的預(yù)測(cè)分?jǐn)?shù)

我們將上述場景數(shù)學(xué)化

設(shè) $\hat{y}_{i}$ 是樣本 $x_{i}$ 的最終預(yù)測(cè)分?jǐn)?shù)， $f_{i}$ 是第i顆樹的葉子打分映射，則預(yù)測(cè)函數(shù)為

模型的預(yù)測(cè)函數(shù)

所有樹的葉子打分映射將共同構(gòu)成模型的函數(shù)空間，即

模型的函數(shù)空間

（PS：注意這里不再是模型的參數(shù)空間 $\theta$ ，而是函數(shù)空間 $f$ ）

六、XGBoost的目標(biāo)函數(shù)

我們繼續(xù)定義出模型的損失函數(shù)為

模型的損失函數(shù)

其中 $l(y_{i}, \hat{y}_{i})$ 是單個(gè)樣本 $x_{i}$ 的損失函數(shù)，可以是任意可微函數(shù)，比如平方誤差和邏輯誤差函數(shù)

平方誤差函數(shù)

邏輯誤差函數(shù)

接下來我們?cè)俣x出模型的復(fù)雜度為

模型的復(fù)雜度

其中 $\Omega(f_{i})$ 可以用樹的深度、葉子的數(shù)量、葉子權(quán)重的L2范式等量化

我們對(duì)上述模型的損失函數(shù)和復(fù)雜度進(jìn)行線性組合，便得到了XGBoost的目標(biāo)函數(shù) $Obj$

XGBoost的目標(biāo)函數(shù)

顯然，XGBoost的目標(biāo)函數(shù)加入了正則項(xiàng)，即：用 $L(F)$ 表示模型的偏度（期望），用 $\Omega (F)$ 表示模型的復(fù)雜度（方差）

七、優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

從數(shù)學(xué)角度看，目標(biāo)函數(shù) $Obj$ 的定義是一個(gè)泛函，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)等價(jià)于泛函最優(yōu)化問題，這使得我們很難進(jìn)行優(yōu)化

（PS： $\hat{y}_{i}$ 的自變量包含K個(gè)函數(shù) $f_{i}(x_{i})$ ，即 $\hat{y}_{i}$ 是函數(shù)的函數(shù)—泛函）

為此我們需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變換，根據(jù)boosting的思想：

（1）每次迭代，都是在現(xiàn)有模型的基礎(chǔ)上，增加一個(gè)弱學(xué)習(xí)器

（2）新增加的弱學(xué)習(xí)器就是一個(gè)新函數(shù) $f$ ，用來擬合當(dāng)前模型的預(yù)測(cè)結(jié)果和真實(shí)值的殘差

（3）通過不斷迭代K個(gè)弱學(xué)習(xí)器來不斷降低模型的預(yù)測(cè)結(jié)果和真實(shí)值的殘差

我們將上述思想進(jìn)行數(shù)學(xué)化，即

加入第0顆樹，當(dāng)前模型的預(yù)測(cè)結(jié)果為

加入第0顆樹

加入第1顆樹，當(dāng)前模型的預(yù)測(cè)結(jié)果為

加入第1顆樹

加入第2顆樹，當(dāng)前模型的預(yù)測(cè)結(jié)果為

加入第2顆樹

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，加入第t顆樹，即第t次迭代，當(dāng)前模型的預(yù)測(cè)結(jié)果為

加入第t顆樹

將上述迭代結(jié)果帶入目標(biāo)函數(shù)，則目標(biāo)函數(shù)改為迭代版本如下

迭代版本的目標(biāo)函數(shù)

下面我們需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行一些數(shù)學(xué)上的近似處理

我們知道二階泰勒公式的迭代形式為

二階泰勒公式的迭代形式

這里我們將目標(biāo)函數(shù)類比二階泰勒公式，即

類比二階泰勒公式

且定義 $g_{i}$ 和 $h_{i}$ 來類比二階泰勒公式中的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，即

類比二階泰勒公式

有了上述近似類比，我們將目標(biāo)函數(shù)在 $f_{t}(x_{i})$ 處進(jìn)行二階泰勒展開，得

目標(biāo)函數(shù)的泰勒二階展開

我們繼續(xù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

由于目標(biāo)函數(shù)只受到基學(xué)習(xí)器 $f$ 的影響，上一次的誤差 $l(y_{i},\hat{y_{i}}^{(t-1)})$ 是常數(shù)項(xiàng)，對(duì)本次迭代沒有影響（常量微分為0），于是我們可以刪除掉常數(shù)項(xiàng)，即

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

至此我們得到了迭代過程下，目標(biāo)函數(shù)的近似表達(dá)式，繼續(xù)優(yōu)化之前，我們需要先討論每棵樹的函數(shù)表達(dá)式 $f_{t}(x_{i})$

八、樹的函數(shù)表達(dá)式的拆分

我們將第t顆樹的函數(shù)表達(dá)式 $f_{t}(x_{i})$ ，拆分成樹結(jié)構(gòu)部分q和葉子權(quán)重部分w，即

樹結(jié)構(gòu)和葉子權(quán)重

如上圖，樹的物理意義為：

每個(gè)樣本均落在樹中對(duì)應(yīng)的葉子中，且每片葉子都有權(quán)重分?jǐn)?shù)值

我們將其數(shù)學(xué)化，即定義：

$q(x_{i}):=$ 在樹中，任意樣本 $x_{i}$ 落在葉子的位置

$w_{q(x_{i})}:=$ 在樹中，任意樣本 $x_{i}$ 所在葉子的權(quán)重

至此，我們可以將樹的函數(shù)表達(dá)式 $f_{t}(x_{i})$ 寫為

樹的函數(shù)表達(dá)

九、模型的復(fù)雜度定義

緊接著我們定義出模型的復(fù)雜度 $\Omega(f_{t})$

我們用葉子節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù) $T$ 和每片葉子的權(quán)重 $w_{j}$ 的L2范數(shù)來共同描述模型的復(fù)雜度，即

模型的復(fù)雜度

其中 $\gamma$ 和 $\lambda$ 是超參數(shù)， $\gamma$ 用來收縮葉子個(gè)數(shù)， $\lambda$ 控制葉子權(quán)重分?jǐn)?shù)不會(huì)過大，二者同時(shí)防止模型過擬合

十、繼續(xù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

有了樹的函數(shù)表達(dá)式 $f_{t}(x_{i})$ 的拆分和模型的復(fù)雜度 $\Omega(f_{t})$ ，我們繼續(xù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

將二者帶入目標(biāo)函數(shù)，得

目標(biāo)函數(shù)

下面需要用到一個(gè)數(shù)學(xué)技巧，仔細(xì)觀察上式

目標(biāo)函數(shù)

上式中，紅色部分表示：對(duì)整個(gè)樣本集合的遍歷；藍(lán)色部分表示：對(duì)所有葉節(jié)點(diǎn)的遍歷

為了將二者的累加形式統(tǒng)一，我們有如下結(jié)論

（1）由于所有樣本在樹結(jié)構(gòu)中，最終都會(huì)落在葉子節(jié)點(diǎn)上

（2）則遍歷所有樣本 $\Leftrightarrow$ ?遍歷所有葉子節(jié)點(diǎn)中的子樣本

因此我們定義 $I_{j}$ 表示樹中第j個(gè)葉子中樣本的集合，即

第j個(gè)葉子中樣本集合

將 $I_{j}$ 帶入目標(biāo)函數(shù)，我們就可以統(tǒng)一兩個(gè) $\sum$ 的物理意義和數(shù)學(xué)形式，即

目標(biāo)函數(shù)

緊接著我們定義 $G_{i}$ 和 $H_{i}$ 來簡化目標(biāo)函數(shù)

簡化目標(biāo)函數(shù)

帶入則目標(biāo)函數(shù)最終可以化簡為

目標(biāo)函數(shù)

至此，我們一步步推導(dǎo)出了XGBoost目標(biāo)函數(shù)的最終表達(dá)式，接下來就可以求解其極值

十一、求解目標(biāo)函數(shù)極值

此時(shí)弱學(xué)習(xí)器—樹已經(jīng)構(gòu)造完成，即樹結(jié)構(gòu) $q(x)$ 確定，為了使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，我們令對(duì)每個(gè)葉子的偏導(dǎo)數(shù)為0，即

每個(gè)葉子的偏導(dǎo)數(shù)為0

求解上述偏導(dǎo)數(shù)，便可解出每個(gè)葉子的最優(yōu)權(quán)重 $w_{j}^{*}$ 為：

每個(gè)葉子的最優(yōu)權(quán)重

將其帶入目標(biāo)函數(shù)，便得到模型的最小損失 $obj^{*}$ 為：

模型的最小損失

至此，我們完成了XGBoost對(duì)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化過程。且從本質(zhì)上講，這就是轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)最優(yōu)化問題

十二、樹節(jié)點(diǎn)分裂算法

下面我們需要關(guān)心XGBoost的基學(xué)習(xí)器—樹到底長什么樣子？

顯然，一棵CART樹的生長過程，是由一個(gè)根節(jié)點(diǎn)開始二分裂，然后各子節(jié)點(diǎn)繼續(xù)二分裂直到分裂產(chǎn)生葉子節(jié)點(diǎn)停止

那么一個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)該怎么分裂？就成為了接下來我們要探討的關(guān)鍵

我們采取貪心算法來分裂樹節(jié)點(diǎn)

（1）從根節(jié)點(diǎn)開始對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)，都遍歷所有特征

（2）將所有特征的特征值進(jìn)行排序，選取不同分位點(diǎn)作為候選點(diǎn)

（3）遍歷所有候選點(diǎn)，量化計(jì)算按照當(dāng)前候選點(diǎn)分裂后產(chǎn)生的增益Gain

（4）選擇Gain最高的特征和候選點(diǎn)作為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)特征和最優(yōu)分割點(diǎn)

（5）直到產(chǎn)生葉子節(jié)點(diǎn)，則停止節(jié)點(diǎn)分裂

關(guān)于Gain增益的計(jì)算，我們使用當(dāng)前樹的最小損失，用節(jié)點(diǎn)分裂前的損失值減去分裂后的損失值，作為按當(dāng)前特征和候選點(diǎn)分裂的增益量化

Gain的計(jì)算

按照貪心算法構(gòu)建樹，有下面兩種構(gòu)建方案

方案一：當(dāng)Gain為負(fù)值則停止分裂，樹生長完成，這樣做效率會(huì)高，但有可能會(huì)放棄一些更好的情況（預(yù)剪枝）

方案二：先讓樹生長到最大深度，再遞歸到Gain為負(fù)數(shù)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行修剪（后剪枝）

這里我們選取方案二進(jìn)行建樹剪枝

十三、XGBoost的算法步驟

（1）循環(huán)增加一顆CART樹 $f_{t}(x_{i})$

（2）用貪婪算法構(gòu)建樹，包含用損失函數(shù)一階和二階導(dǎo)數(shù)信息計(jì)算葉子的最優(yōu)權(quán)重 $w_{j}$ 和節(jié)點(diǎn)分裂的最優(yōu)增益 $Gain$

（3）用構(gòu)建好的樹迭代優(yōu)化函數(shù)空間： $\hat{y}^{(t)}_{i} = \hat{y}^{(t-1)}_{i} + f_{t}(x_{i})$

（4）重新更新計(jì)算損失函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)

（5）重復(fù)第(1)步，直到生成K顆樹

從上面步驟可以看到，關(guān)鍵點(diǎn)是樹的構(gòu)造和剪枝

十四、案例演示

下面我們用原生python來實(shí)現(xiàn)myXGBoost模型（不考慮并行計(jì)算）

訓(xùn)練樣本集為

訓(xùn)練樣本集

首先構(gòu)造樹節(jié)點(diǎn)類和方法

樹節(jié)點(diǎn)類

計(jì)算樣本所在葉子權(quán)重

遞歸統(tǒng)計(jì)回歸樹葉子節(jié)點(diǎn)數(shù)量和葉子節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)數(shù)量

剪枝操作

下面構(gòu)造樹模型類和方法

樹模型類

訓(xùn)練CART樹

遞歸構(gòu)建回歸樹

選擇使得節(jié)點(diǎn)分裂最好的特征

計(jì)算葉節(jié)點(diǎn)的權(quán)重值

計(jì)算節(jié)點(diǎn)分裂后的增益

根據(jù)特征和分割點(diǎn)二分化

最后我們構(gòu)建XGBoost類和方法

XGBoost類

貪婪算法構(gòu)建樹

預(yù)測(cè)測(cè)試集類別

接下來我們定義損失函數(shù)，這里用logistic函數(shù)

定義損失函數(shù)

logistic函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)為：

logistic函數(shù)

最后比較我們自己寫的myXGBoost和官方封裝好的黑盒模型xgboost的預(yù)測(cè)結(jié)果差異，用準(zhǔn)確度和ROC曲線下面積這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量來比較

和官方黑盒模型比較預(yù)測(cè)結(jié)果

可以看到自己寫的模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，很逼近官方黑盒模型的預(yù)測(cè)效果

十五、XGBoost的優(yōu)點(diǎn)

最后我們可以總結(jié)出XGBoost有如下優(yōu)點(diǎn)：

（1）泰勒二階

XGBoost對(duì)Loss函數(shù)的數(shù)學(xué)處理用到了泰勒二階展開，除了提高了誤差精度，更將待優(yōu)化的Loss函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于 $f_{t}(x)$ 的二次函數(shù)最優(yōu)化問題

（2）支持自定義損失函數(shù)

XGBoost對(duì)Loss函數(shù)進(jìn)行泰勒二階展開，即支持任意二階可導(dǎo)的函數(shù)作為模型的損失函數(shù)

（3）正則化

XGBoost的Loss加入了正則化項(xiàng)，包含了對(duì)復(fù)雜模型的懲罰，比如懲罰了葉子的節(jié)點(diǎn)數(shù)量和葉子權(quán)重的分?jǐn)?shù)值大小，降低了模型的方差，防止模型過擬合

（4）特征列抽樣

XGBoost借鑒了隨機(jī)森林的做法，對(duì)每個(gè)訓(xùn)練集特征進(jìn)行隨機(jī)不放回式抽樣，降低了不同樹之間的相關(guān)性，從而降低了模型的方差，防止模型過擬合

（5）貪心構(gòu)建樹

采取貪心策略構(gòu)建最大深度的樹，在遞歸剪枝

（6）支持并行

樣本數(shù)據(jù)事先排好序并以block的形式存儲(chǔ)，利于并行計(jì)算

還可把XGBoost模型高度抽象為：

把樣本從根分配到葉子結(jié)點(diǎn)，本質(zhì)是一個(gè)排列組合，而不同的組合對(duì)應(yīng)不同的損失函數(shù)，我們要優(yōu)化尋找的，就是使得損失函數(shù)達(dá)到最小值的那一種組合方案

案例代碼見：XGBoost算法思想

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XGBoost算法思想

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