一. 問(wèn)題
我們要為一個(gè)電商商戶預(yù)測(cè)其用戶購(gòu)買某個(gè)商品的概率，這個(gè)商戶提供了5個(gè)商品，用戶可以自由購(gòu)買其中的商品，其中第5個(gè)商品是該商戶的重要商品。商戶用了很多方法引導(dǎo)其用戶購(gòu)買第5個(gè)商品?，F(xiàn)在我要預(yù)測(cè)購(gòu)買了前4個(gè)商品任意組合的用戶購(gòu)買第5個(gè)商品的概率。

二. 貝葉斯公式
這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)典型的貝葉斯問(wèn)題。貝葉斯是英國(guó)數(shù)學(xué)家，統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一個(gè)基本的工具用他的名字命名，叫貝葉斯公式，貝葉斯公式描述了事件A在事件B發(fā)生的條件下概率。比如：事件A發(fā)生的概率是P(A)，事件B發(fā)生的概率是P(B)，事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的概率是P(AB)，事件A在事件B發(fā)生的條件下概率是P(A|B)。

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

P(A) P(B) P(B|A) 都可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)計(jì)算可得。
貝葉斯公式實(shí)際上是將要計(jì)算的結(jié)果轉(zhuǎn)化為利用已知數(shù)據(jù)得出結(jié)論的工具。

三. 建模和求解
我們假設(shè)用戶購(gòu)買商品A₁的概率是P(A₁)，購(gòu)買商品A₂的概率是P(A₂)，購(gòu)買商品P(A₃)的概率就是P(A₃)，購(gòu)買商品P(A₄)的概率就是P(A₄)，購(gòu)買商品P(A₅)的概率就是P(A₅)

我們按照用戶購(gòu)買組合的情況，分組求解以上模型，我們將分為：

1. 購(gòu)買1個(gè)商品用戶，購(gòu)買第5個(gè)商品的概率
   根據(jù)前面討論的模型，該情況下的貝葉斯算式是：
   P(A₅| A₁) = P(A₁|A₅) P(A₅) / P(A₁)
   P(A₅| A₂) = P(A₂|A₅) P(A₅) / P(A₂)
   P(A₅| A₃) = P(A₃|A₅) P(A₅) / P(A₃)
   P(A₅| A₄) = P(A₄|A₅) P(A₅) / P(A₄)

4個(gè)算式中的P(A₁| A₅)，P(A₂| A₅)，P(A₃| A₅)，P(A₄| A₅)，P(A₁)，P(A₂)，P(A₃)，P(A₄)，P(A₅)都可以通過(guò)在已有的歷史數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算得出，換句話說(shuō)，我們計(jì)算所需要用到的所有數(shù)值都是已知的。

以上4個(gè)算式的結(jié)果是：
P(A₅| A₁) = 0.13%
P(A₅| A₂) = 0.13%
P(A₅| A₃) = 0.1%
P(A₅| A₄) = 0.12%

2. 購(gòu)買2個(gè)商品的用戶，購(gòu)買第5個(gè)商品的概率

按照貝葉斯公式，
P(A₅| A₁ A₂) = P(A₁ A₂|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₂)
P(A₅| A₁ A₃) = P(A₁ A₃|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₃)
P(A₅| A₁ A₄) = P(A₁ A₄|A₅)P(A₅) / P(A₁ A₄)
P(A₅| A₂ A₃) = P(A₂ A₃|A₅)P(A₅) / P(A₂ A₃)
P(A₅| A₂ A₄) = P(A₂ A₄|A₅)P(A₅) / P(A₂ A₄)
P(A₅| A₃ A₄) = P(A₃ A₄|A₅)P(A₅) / P(A₃ A₄)

同樣，算式中所用到的所有數(shù)據(jù)都可以通過(guò)對(duì)歷史數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算得出，經(jīng)過(guò)計(jì)算，最后得出：
P(A₅| A₁ A₂) = P(A₁ A₂|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₂) = 0.1%
P(A₅| A₁ A₃) = P(A₁ A₃|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₃) = 0.1%
P(A₅| A₁ A₄) = P(A₁ A₄|A₅)P(A₅) / P(A₁ A₄) = 0.1%
P(A₅| A₂ A₃) = P(A₂ A₃|A₅)P(A₅) / P(A₂ A₃) = 0.2%
P(A₅| A₂ A₄) = P(A₂ A₄|A₅)P(A₅) / P(A₂ A₄) = 0.0%
P(A₅| A₃ A₄) = P(A₃ A₄|A₅)P(A₅) / P(A₃ A₄) = 0.2%

3. 購(gòu)買3個(gè)商品的用戶，購(gòu)買第5個(gè)商品的概率：
   P(A₅| A₁ A₂ A₃) = P(A₁ A₂ A₃|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₂ A₃)
   P(A₅| A₁ A₂ A₄) = P(A₁ A₂ A₄|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₂ A₄)
   P(A₅| A₁ A₃ A₄) = P(A₁ A₃ A₄|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₃ A₄)
   P(A₅| A₂ A₃ A₄) = P(A₂ A₄ A₄|A₅) P(A₅) / P(A₂ A₃ A₄)

同前2種情況類似，最后結(jié)果是：
P(A₅| A₁ A₂ A₃) = P(A₁ A₂ A₃|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₂ A₃) = 0.3%
P(A₅| A₁ A₂ A₄) = P(A₁ A₂ A₄|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₂ A₄) = 0.4%
P(A₅| A₁ A₃ A₄) = P(A₁ A₃ A₄|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₃ A₄) = 0.5%
P(A₅| A₂ A₃ A₄) = P(A₂ A₄ A₄|A₅) P(A₅) / P(A₂ A₃ A₄) = 0.0%

4. 購(gòu)買4個(gè)商品的組合，購(gòu)買第5個(gè)商品的概率：
   P(A₅| A₁ A₂ A₃ A₄) = P(A₁ A₂ A₃ A₄|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₂ A₃ A₄)

同樣按照前面的方法計(jì)算，得出：
P(A₅| A₁ A₂ A₃ A₄) = P(A₁ A₂ A₃ A₄|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₂ A₃ A₄) = 1.6%

四. 結(jié)果分析
我們從2個(gè)角度來(lái)分析結(jié)果，1個(gè)角度是從每種情況下比較不同組合間的概率，1個(gè)角度是不同情況間的橫向?qū)Ρ取?/p>

1. 每種情況下不同組合的概率：
   （1）只購(gòu)買1個(gè)商品的情況下，不管用戶購(gòu)買哪種商品，對(duì)購(gòu)買第5種商品的概率都沒(méi)太大影響。4個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.014，均值是0.12。
   （2）購(gòu)買2個(gè)商品的情況下，購(gòu)買A2A3和A3A4對(duì)結(jié)果是有明顯效果的，但是購(gòu)買A2A4組合的用戶反而不太可能購(gòu)買第5種商品。
   （3）購(gòu)買3個(gè)商品的情況下，購(gòu)買A1A3A4組合的用戶相比其他組合的用戶效果最好，而購(gòu)買A2A3A4的用戶反而不太可能購(gòu)買第5種商品。

2. 購(gòu)買不同數(shù)量商品組合間的對(duì)比
   購(gòu)買1個(gè)商品結(jié)果均值是0.12%，購(gòu)買2個(gè)商品的結(jié)果均值是0.12%，購(gòu)買3個(gè)商品的結(jié)果均值是0.3%，購(gòu)買4個(gè)商品的結(jié)果均值是1.6%。可以看出當(dāng)用戶購(gòu)買3個(gè)、4個(gè)商品是，對(duì)購(gòu)買第5種商品的概率是很大提升的，

四. 結(jié)論

1. 購(gòu)買1個(gè)商品的情況下，購(gòu)買哪個(gè)商品對(duì)最后購(gòu)買第5個(gè)商品的概率影響不大。
2. 購(gòu)買2個(gè)商品的情況下，只有A2和A4組合對(duì)購(gòu)買第5個(gè)商品的概率有提升，其他組合對(duì)目標(biāo)概率的提升不高。
3. 購(gòu)買3個(gè)商品的情況下，普遍能大幅提升購(gòu)買第5個(gè)商品的概率，但是A2A3A4組合除外。
4. 購(gòu)買4個(gè)商品的情況下，能大大提高購(gòu)買第5個(gè)商品的概率，該商戶應(yīng)該想辦法引導(dǎo)用戶購(gòu)買出第5個(gè)商品外的剩余全部的4個(gè)商品。