通過指數(shù)擬合獲取平均增長(zhǎng)率

數(shù)據(jù)分析中，我們常常會(huì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的平均增長(zhǎng)率或平均下降率。
事實(shí)上，我們可以通過指數(shù)擬合來(lái)得到上升比率或下降比率。

如圖，針對(duì)不斷下降的月度數(shù)據(jù)，我們制作一個(gè)指數(shù)擬合曲線：


指數(shù)擬合

圖中指數(shù)公式，冪的系數(shù)-0.332就是擬合到的下降比率33%了，該數(shù)據(jù)為正數(shù)時(shí)就是上升比率。

公式推導(dǎo)

令 a=\frac{x_t-x_{t-1}}{x_{t-1}} 為下降比例，且假設(shè)|a|<1，則
x_t=x_0(a+1)^t=x_0e^{tlog(1+a)}
由泰勒展開公式
e^a=e^0+e^0(a-0)+e^0\frac{(a-0)^2}{2!}+...=1+a+o(a)
忽略高階無(wú)窮小項(xiàng)o(a)，可知
a \approx log(1+a)
從而
x_t=x_0(a+1)^t=x_0e^{tlog(1+a)} \approx x_0e^{at}

圖中公式為：
y = 9.5794e^{-0.332x}
這里的x就是上述推導(dǎo)時(shí)的t，對(duì)應(yīng)的，x_0=9.5794，a=e^{-0.332}-1 \approx -0.332
解釋為，月度下降比例約為33%

有一點(diǎn)需要注意：推導(dǎo)過程中，我們假設(shè)了增長(zhǎng)率絕對(duì)值是小于1的。也就是說，如果擬合出的指數(shù)冪系數(shù)的絕對(duì)值不小于1，則不能使用該公式。

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