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特征值和特征向量

1 特征值分解與特征向量

特征值分解可以得到特征值(eigenvalues)與特征向量(eigenvectors)；
特征值表示的是這個特征到底有多重要，而特征向量表示這個特征是什么。

如果說一個向量 $\vec{v}$ 是方陣 $A$ 的特征向量，將一定可以表示成下面的形式：

$A\nu = \lambda \nu$

$\lambda$ 為特征向量 $\vec{v}$ 對應(yīng)的特征值。特征值分解是將一個矩陣分解為如下形式：

$A=Q\sum Q^{-1}$

其中， $Q$ 是這個矩陣 $A$ 的特征向量組成的矩陣， $\sum$ 是一個對角矩陣，每一個對角線元素就是一個特征值，里面的特征值是由大到小排列的，這些特征值所對應(yīng)的特征向量就是描述這個矩陣變化方向（從主要的變化到次要的變化排列）。也就是說矩陣 $A$ 的信息可以由其特征值和特征向量表示。

2 奇異值與特征值有什么關(guān)系

那么奇異值和特征值是怎么對應(yīng)起來的呢？我們將一個矩陣 $A$ 的轉(zhuǎn)置乘以 $A$ ，并對 $A^TA?$ 求特征值，則有下面的形式：

$(A^TA)V = \lambda V$

這里 $V?$ 就是上面的右奇異向量，另外還有：

$\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}, u_i=\frac{1}{\sigma_i}A\mu_i$

這里的 $\sigma?$ 就是奇異值， $u?$ 就是上面說的左奇異向量。【證明那個哥們也沒給】
?奇異值 $\sigma?$ 跟特征值類似，在矩陣 $\sum?$ 中也是從大到小排列，而且 $\sigma?$ 的減少特別的快，在很多情況下，前10%甚至1%的奇異值的和就占了全部的奇異值之和的99%以上了。也就是說，我們也可以用前 $r?$ （ $r?$ 遠小于 $m、n?$ ）個的奇異值來近似描述矩陣，即部分奇異值分解：
$A_{m\times n}\approx U_{m \times r}\sum_{r\times r}V_{r \times n}^T$