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?前面我們提到兩大變（ “變分の美”和 “Legendre變變變”），那么一直在變的話，什么時候不再變呢？ ?這就是我們今天想概述的。所謂物極必反，又所謂螺旋式上升，再所謂三十年河東，三十年河西。一句話,變多了就想怎么不變？或者說變到不能再變！把今天所描述的"不變"想的明白的是在“變分の美” 最后提到的哈密爾頓 Hamilton.

Hamilton 是何方神圣？

William Rowan Hamilton 是來自愛爾蘭（Ireland, Irish）的物理學家（1805年），數學家。老爹是個推銷員，家住都柏林。 3歲那年，被狠心的老爹交由他叔叔代養(yǎng)，他叔叔大學畢業(yè)，算是個語言學家，拼命的給他灌輸各種語言，沒想到最后灌成了數學家。但這個家伙的確是個神通，5歲能讀拉丁文、希臘文和希伯來文，14歲竟然掌握了12種語言。還記得《紅與黑》里面的于連么？人家只會一點拉丁文就雞窩里面飛出金鳳凰了。哈密爾頓，這還得了。但是在他9歲那年，他遇上了美國速算神童Zerah Colburn，那時候美國還比較窮，來愛爾蘭大都市賺錢，哈密爾頓和人家杠上了，當然是輸了，人家煉過的。但是這一輸，激發(fā)了少年天才拼了命的學數學。猶如滔滔江水，一發(fā)而不可收拾，在他18歲那年，進入了大學，遇上了愛爾蘭天文學主席， John Brinkley博士，他這么評價18歲的哈密爾：這個年輕人，不要說將來，現在就是他這個年代NO.1的數學家（ 'This young man, I do not say will be, but is, the first mathematician of his age.'）。所以要學好數學，兒童時期，不要學數學，煉文學和記憶力吧。

你看，年輕青青，才華冠絕當世，卻一輩子過得很不順心。所謂成也蕭何，敗也蕭何，就是這么說的。在他19歲那年（大一？），他的叔叔領著他拜訪了他的一個朋友Disney。年輕的Hamilton卻一見鐘情，無可救藥的迷戀上了人家的女兒Catherine?Disney。他說Catherine是他見過唯一在思想上讓他折服的女性（不知道第一見面，Catherine跟他談了什么高大上，讓Hamlitonadmired her mind）。 ?但是那時候Hamilton家境不好，沒辦法搞定婚禮， 3年后，女方媽媽告訴Hamilton，女兒凱瑟琳嫁給了一位年長15歲的牧師，得到消息后的哈密爾頓極其痛苦，可能自殺過，成績也從“極優(yōu)” 滑落到了“優(yōu)”（無語了），從此哈密爾頓生活痛苦，迷戀寫詩發(fā)泄。 ?或許失戀觸發(fā)了哈密爾頓的無情奮斗，他成果斐然，在感情生活絕望了9年后，他找到了一個校長的女兒Helen Maria Bayly結婚了。海倫比哈密爾頓大一歲，但是一輩子并沒有博得哈密爾頓的欣賞，哈密爾頓評價說“她可謂毫無智慧”。海倫身體不是很好，但是兩人有二男一女。凱瑟琳晚年也過得不是很幸福，和牧師沒有太多共同語言，晚年分居了，在哈密爾頓的叔叔去世那年他們開始了郵件來往。但是6年后，凱瑟琳就去世了，哈密爾頓卻保持了繼續(xù)和凱瑟琳家族通信，并且?guī)椭^凱瑟琳的兒子。在凱瑟琳死前二周，哈密爾頓帶著自己的四元法講義“Lectures on Quaternions”去看了她。或許跟女神匯報自己的最佳成果。在哈密爾頓死后（活了60歲），海倫再活了4年，據說哈密爾頓死后，海倫第一次從他的朋友那里收到了無數的信件。

哈密爾頓給女神凱瑟琳最后獻禮的四元數是什么？

四元數相當于復數從2維空間擴展到4維空間，并且符號化的建立了空間旋轉的關系。雖然目前高維空間投影和旋轉都可以基于矩陣進行建模了，但是對于4維以內的空間，四元數還是有著定制化的優(yōu)勢：高效，直觀，容易理解。

另外，基于四元數對Cayley Graph克雷圖的理解，在算法應用上也有極大幫助。例如如何非遞歸求解全排列？其中一種方式就是利用Cayley 圖。

如何走近哈密爾頓？

哈密爾頓最斐然的成果是哈密爾頓系統(tǒng)的建立，是自牛頓系統(tǒng)之后又一個偉大的突破。據說，你站在泰勒Taylor的肩膀上，跨過拉格朗日Larange（參考“一步一步走向錐規(guī)劃 - QP”），再攜手勒讓德Legendre（參考“Legendre變變變”），你就找到了哈密爾頓Hamilton。

突破變，就是對愛的不變

哈密爾頓做到了，最早源于他對傅里葉分析（Fourier analysis）的喜愛。我們知道還有一位大神，最早學文學的（歷史系），然后上了一堂傅里葉變換的課程，從而喜歡上了數學，他就是Andrey Kolmogorov。Fourier變換也是一種典型的從變中找不變的神器。

如何為任意函數建模？

我們知道，泰勒展開提供了對任意連續(xù)光滑函數（smooth function）的多項式（polynomials?）疊加的擬合，這種擬合可以到任意精度要求，并且可以根據需求對余項（remainder）多種表達形式。

舉個指數函數的列子：

再舉一個三角函數（sine）的例子（sin（x））：

所以，我們要表達一個任意函數，我們只要提供各階導數，然后我們就可以利用多項式進行按精度要求的擬合。

那么根據泛函的思想，參考“變分の美”，如果利用一階泰勒展開，要變換函數，只要變換x,f(x),f'(x)，就可以了。

如何引入泛函目標表達式？

我們有了函數的任意表示，那么把函數看成輸入參數，然后建立目標公式，我們就得到了拉格朗日量（Lagrangian）：

那么根據EL公式Euler-Larange Equation的思想，參考“變分の美”，可以得到向量化（vectorization）后的公式。

至此，我們離哈密爾頓的不變就差不太遠了。

哈密爾頓原理的引入

根據向量化的歐拉公式，可以引入哈密爾頓原理（Hamilton Principle）了。

就是積分系統(tǒng)的對于泛函的變換為零。

在這個推演過程中，要用到一個變分法的基礎引理（fundamental lemma of caculus of variations）：

哈密爾頓原理帶來了什么變化？

這樣我們從牛頓系統(tǒng)，到了拉格朗日系統(tǒng)，再到了哈密爾頓系統(tǒng)，那整個這個過程到底做了什么？

從牛頓系統(tǒng)到拉格朗日系統(tǒng)，坐標系更為通用，并且引入了泛函。而從拉格朗日系統(tǒng)到哈密爾頓系統(tǒng)，引入了作用量 action integral，并且不再受到坐標系的限制。

作用量積分是什么？

作用量積分（action integral）是對拉格朗日量（lagrangian）在兩個不動點（stationary points）上的積分。而哈密爾頓原理告訴我們，這樣的積分的變化為零，也就是說是個不動的靜態(tài)的作用量（stationary action）。

作用量積分有什么用呢？

在把作用量（action）定義成積分的形式后，很明顯，不同的路徑q(t)會帶來作用量的不一致。正是作用量對積分路徑的依賴，使得哈密爾頓的方法變得有意義。 ?為什么呢？哈密爾頓原理說，存在一條路徑使得作用量是靜止stationary。就是說這條路徑發(fā)生一個極小的偏差，在拉格朗日量一階導的情況下， ?帶來的作用量的變化可以忽略不計。這又是什么含義呢？

在“變分の美”里面有最短的是直線的證明，那么我們用這個例子，按哈密爾頓原理，直接進行解釋。哈密爾頓原理要求的那條路徑，發(fā)生一個極小的偏差，但是帶來的作用量變化可以忽略不計。因為作用量是對拉格朗日量的積分，如果拉格朗日量的三個參量（x, f(x),f'(x)）的變化都可以忽略不計，那么可以是看成作用量變化可以忽略。 ? 因為本來是很小的偏差，那么f(x)的變化可以看成不變。但是f'(x)的變換是f''(x)。因此我們看到哈密爾頓原理對路徑的要求，蘊含著f''(x)為零。在這種情況下很容易知道，兩點之間的直線路徑滿足這個要求。

什么是廣義的坐標系（generalized coordinates）？

首先我們知道坐標系有直角正交坐標系和極坐標系。而廣義坐標系就是進一步放寬限制。例如非歐幾何里面就在曲面上建坐標系。

更直觀的，如果固定對線的限制，對角的描述就會很不一樣。

我們知道，牛頓系統(tǒng)定理的描述必須要求獨立正交的坐標系。但是在拉格朗日系統(tǒng)定理的描述，就能擴展到這些廣義的坐標系。 ? 這樣有兩個好處：可以隨意的換適合對問題描述的坐標系?？梢越鉀Q一些受牛頓系統(tǒng)描述限制而無法解決的問題。 ? 其實，這其中已經蘊含了對變化的系統(tǒng)去追求不變的道理的思想。

不要坐標系（nocoordinates）又指什么呢？

我們現在很清楚拉格朗日系統(tǒng)是如何突破了牛頓系統(tǒng)的，那么哈密爾頓系統(tǒng)又是如何突破拉格朗日系統(tǒng)的呢？

因為哈密爾頓系統(tǒng)直接利用了導數和積分來對變化直接建模，使得好多不需要坐標系，但是又存在導數和積分的系統(tǒng)都可以使用哈密爾頓系統(tǒng)建模，譬如能量，熵，勢，角動量等等。所以哈密爾頓力學Hamiltonian mechanics和哈密爾頓場論Hamiltonian field theory都有突破。哈密爾頓場論除了廣義坐標系，還對共軛動量conjugate momenta, 和時間time都有擴展。而哈密爾頓力學主要突破就是對Symplectic manifold 辛流形（一個辛流形上的任何實值可微函數H可以用作一個能量函數或者叫哈密頓量。和任何一個哈密頓量相關有一個哈密頓向量場；該哈密頓向量場的積分曲線是哈密頓-雅可比方程的解。哈密頓向量場定義了辛流形上的一個流場，稱為哈密頓流場或者叫辛同胚。）引入。

但是要注意，量子力學Quantum mechanics和量子場Quantum field theory的發(fā)展突破了經典的哈密爾頓力學和哈密爾頓場論，最主要的是經典的還是屬于確定性determinism的范疇，而量子理論基本是概率范疇（著名的薛定諤貓）。譬如，在最優(yōu)路徑上，不是一條明確的路徑，而是按概率的無數條路徑。 ?一句話，最大的差別是哈密爾頓主要還屬于經典范疇。