2019-05-13

  • 相似于對角陣的條件
  • A\sim \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n\\ \end{pmatrix} = P^{-1}AP
  • P = \{\xi_1,...,\xi_n\}可逆 \iff \xi_1,...,\xi_n線性無關(guān)
  • P^{-1}AP = \Lambda \iff AP = PA
  • (A\xi_1,...,A\xi_n) = (\lambda_1\xi_1,...,\lambda_n\xi_n)
  • 定理1，設(shè)A為n階矩陣，則A相似于對角矩陣\iffA有n個線性無關(guān)的特征向量
  • 定理2，設(shè)\lambda_1,\lambda_2為A的兩個不同的特征值，\lambda_1有線性無關(guān)的特征向量\alpha_1,...,\alpha_s，\lambda_2有線性無關(guān)的特征向量\beta_1,...,\beta_t，則\alpha_1,...,\alpha_s，\beta_1,...,\beta_t線性無關(guān)。
  • 一般設(shè)|\lambda E-A| = (\lambda-\lambda_1)^{c_1}...(\lambda-\lambda_s)^{c_s}，\lambda_1,...,\lambda_s互異，\lambda_i有線性無關(guān)的特征向量\alpha_{i1},...,\alpha_{ir_i}.i = 1,...,s,則\alpha_{11},...,\alpha_{1r_1},...,\alpha_{s1},...,\alpha_{sr_s}線性無關(guān)。
  • 設(shè)\lambda_1,\lambda_2是A的兩個不同的特征值，\alpha_1,\beta_1是對應的特征向量，則\alpha_1,\beta_1線性無關(guān)。
  • 推論2 ，設(shè)n階矩陣A有n個不同的特征值，則A相似于對角矩陣。
  • 定理3，設(shè)n階矩陣A的特征多項式，|\lambda E-A| = (\lambda-\lambda_1)^{c_1}...(\lambda-\lambda_s)^{c_s}，\lambda_1,...,\lambda_s，\lambda_i有線性無關(guān)的特征向量\alpha_{i1},...,\alpha_{ir_i}.i = 1,...,s，則A相似于對角矩陣\iff,r_i = c_i, \forall i ,r_i = c_i(c_i>1),n-r(\lambda_iE-A) = c_i(c_i>1)
  • 相似對角化與方陣的冪
  • P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n\\ \end{pmatrix}
  • A = P\Lambda P^{-1}
  • A^{s} =( P\Lambda P^{-1}) ^s = P\Lambda^sP^{-1} = P\begin{pmatrix} \lambda_1^s & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2^s & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^s\\ \end{pmatrix} P^{-1}
  • A\sim B \implies trA = trB,|A| = |B|
?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者
【社區(qū)內(nèi)容提示】社區(qū)部分內(nèi)容疑似由AI輔助生成，瀏覽時請結(jié)合常識與多方信息審慎甄別。
平臺聲明：文章內(nèi)容（如有圖片或視頻亦包括在內(nèi)）由作者上傳并發(fā)布，文章內(nèi)容僅代表作者本人觀點，簡書系信息發(fā)布平臺，僅提供信息存儲服務(wù)。

相關(guān)閱讀更多精彩內(nèi)容

友情鏈接更多精彩內(nèi)容