摘要

本文從伽利略變換中參考系與坐標(biāo)、速度的相對性等相對現(xiàn)象開始，建立了基底、描述量和反變關(guān)系的概念，將對某種屬性的度量值稱為描述量，將度量描述量時所必須依賴的對象稱為基底，將兩個對象間一個正變化另一個就反變化的關(guān)系稱為反變關(guān)系。通過類比單位換算給出了基坐標(biāo)方程，并使用該方程來刻畫基底與描述量的關(guān)系。通過一個簡單的推導(dǎo)，得到了反變關(guān)系的矩陣表示。
接著，應(yīng)用這些概念對一些常見的基底和描述量進行了分析，其中，對曲線方程和曲線圖像的關(guān)系，作者只給出了嘗試性的解釋，還存在一些問題仍未解決。

從一個簡單的現(xiàn)象開始

我們曾經(jīng)學(xué)過伽利略變換，當(dāng)一個坐標(biāo)系 相對于坐標(biāo)系 以牽連速度 沿 軸正半軸前進時，從新坐標(biāo)系 的視角去觀察，物體的坐標(biāo)將變?yōu)?img class="math-block" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7D%20x'%3Dx-vt%5C%5C%20y'%3Dy%5C%5C%20z'%3Dz%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright." alt="\left\{ \begin{array}{} x'=x-vt\\ y'=y\\ z'=z \end{array} \right." mathimg="1">我們從中觀察到一個現(xiàn)象，當(dāng)坐標(biāo)系 相對于坐標(biāo)系 是正向移動時，物體在坐標(biāo)系 上的坐標(biāo)值卻要減去這個移動量。物體的坐標(biāo)是相對于原點而言，原點向左移動了，物體坐標(biāo)相對的也就向右了，這和經(jīng)典物理學(xué)里的相對運動的思想是一致的。要描述一個物體的速度，必須選擇某個參考系，物體的速度依賴于參考系。我們在行駛的車上會看到兩邊的建筑物在向后運動，可是建筑物明明是靜止在地面上的，這個現(xiàn)象也說明，速度具有相對性。
我們把坐標(biāo)系 相對于坐標(biāo)系 正向移動的過程抽象出來，稱為對坐標(biāo)系進行了變換 ，把物體在坐標(biāo)系 上的坐標(biāo)值減去這個移動量的過程也抽象出來，稱為物體的坐標(biāo)被施加了變換 。
對坐標(biāo)系進行了變換，而物體的坐標(biāo)卻要被施加變換 ，我們把這種相對現(xiàn)象抽象出來，一個依賴于某個基底的描述量隨著基底的變化而反向變化，其中，某種屬性的度量值稱為描述量，度量描述量時所必須依賴的對象稱為基底，將兩個對象間一個正變化另一個就反變化的關(guān)系稱為反變關(guān)系。
描述量與基底間的反變關(guān)系是普遍的嗎？讓我們嘗試回答這個問題。

基坐標(biāo)方程

為了更快的給出基坐標(biāo)以及坐標(biāo)變換的公式，我們將通過類比單位換算來給出。我們在換算單位時，可以列出這樣一個方程
從而在已知量1和單位的情況下可解得量2是多少。對于坐標(biāo)變換我們也可以給出一個類似的方程這樣，同樣可以在已知原坐標(biāo)和新舊基之間關(guān)系的時候求出坐標(biāo)2了。如果用矩陣表示，我們把基向量用行向量表示（也可以寫成列向量的轉(zhuǎn)置），把坐標(biāo)用列向量進行表示（這是習(xí)慣），于是基與坐標(biāo)關(guān)系可用一個方程來刻畫其中 代表一組基，代表一組坐標(biāo)，分別對應(yīng)著基底和描述量，我們將使用這個基坐標(biāo)方程來刻畫基底與描述量的關(guān)系。當(dāng)我們用數(shù)學(xué)的矩陣方程來表述這種關(guān)系時，這一切將顯得十分簡潔而優(yōu)美，后文將盡量使用矩陣方程代替自然語言的敘述。

基底與描述量的反變關(guān)系

我們現(xiàn)在把開頭的例子中的坐標(biāo)系理解為一個基底，并用行向量 表示，把物體的位置坐標(biāo)理解為描述量 ，并用列向量 表示，把坐標(biāo)系O的正向移動理解為對坐標(biāo)系進行了變換 （對行向量的變換寫到其右邊），同時將舊量的下標(biāo)置為1，將經(jīng)過了變換 的新量的下標(biāo)置為2。對基底進行正變換即為了推導(dǎo)描述量 將如何變換，我們將上式代入基變換方程，同時考慮到 與互為逆變換，得到
進而
顯然有也就是說，基底經(jīng)過變換 后，描述量將經(jīng)過逆變換 ， 與是互為逆變換的，反過來說也可以，要得到進行變換 后的描述量，可以將基底進行逆變換 。 我們使用了矩陣來證明基底與描述量的反變關(guān)系，過程十分簡潔。

常見的基底與描述量

基底和描述量是成對出現(xiàn)的，哪些是基底，哪些是描述量？下面給常見的幾對

1. 線性空間里的基向量組和該空間內(nèi)的向量
2. 單位和數(shù)量(一維數(shù)軸)、參考系和運動量
3. 平面直角坐標(biāo)系里的原點和坐標(biāo)點
4. 笛卡爾坐標(biāo)系（空間）上的函數(shù)方程和函數(shù)圖像，或者更普遍的，曲線方程和曲線圖像（點的坐標(biāo)）
5. 其他

我們的基坐標(biāo)方程正是由線性空間里的基向量組和該空間內(nèi)的向量之間的關(guān)系而建立起來的，它們是基底和描述量這兩個概念的代表。而單位和數(shù)量、參考系和運動量則是生活中常見，其反變關(guān)系也是明顯的。
在平面直角坐標(biāo)系里，原點和坐標(biāo)點的反變關(guān)系是很直觀的，但是曲線方程和曲線圖像的反變關(guān)系就不那么明顯了，需要討論。另外，笛卡爾坐標(biāo)系與函數(shù)方程還具有同變關(guān)系，這也不明顯，需要討論。

情況 1）笛卡爾坐標(biāo)系與函數(shù)方程具有同變關(guān)系；
曲線方程 實際上是坐標(biāo)系內(nèi)各分量之間的一種約束關(guān)系，我們對其所在的笛卡爾坐標(biāo)系 進行變換 ，方程 也伴隨著發(fā)生同樣的變換 。
舉個例子，首先，我們繪制出在笛卡爾坐標(biāo)系 上的二次方程 的曲線圖像，為簡單起見，假設(shè)該曲線方程 為 ；然后對坐標(biāo)系 施加平移變換 ，觀察新坐標(biāo)系 下的曲線方程。

圖1 坐標(biāo)系與函數(shù)方程的同變關(guān)系舉例

新曲線方程 為 ，這和坐標(biāo)系進行的平移變換是一致的。

情況 2）曲線方程和曲線圖像具有反變關(guān)系；
我們中學(xué)曾學(xué)習(xí)過圖象變換，學(xué)過所謂的“左加右減、伸除縮乘”，要把曲線圖像向右平移一個單位，那么曲線方程中的 要減去一個單位。使用動點代入法可以求解曲線圖像經(jīng)過伸縮變換后的新曲線方程，結(jié)論也確實是“左加右減、伸除縮乘”。但這是為什么呢？筆者沒有很好的解釋方法，只是提出一種嘗試。
首先，回顧函數(shù)圖像是如何繪制的，在一個平面坐標(biāo)系里，我們使用坐標(biāo)來一一對應(yīng)空間的點，坐標(biāo)由兩個數(shù)構(gòu)成，分別代表在x軸和y軸的分量的多少，將點向左平移一個單位，就是把它的x坐標(biāo)減去一個單位，它們之間是同變的，或者說對圖像的操作實際上就是對圖像上每個點的坐標(biāo)進行操作，它們是等價的。對于空間中的線，就不能只使用一個坐標(biāo)來刻畫了，一條線包含了無數(shù)的點，但是在同一條線上的點，它們所對應(yīng)的坐標(biāo)是特殊的，它們的x坐標(biāo)與y坐標(biāo)之間存在著某種約束關(guān)系，例如y坐標(biāo)都是x坐標(biāo)的k倍，或者是冪次、指數(shù)、三角等關(guān)系。這樣一條線就可以用一條約束關(guān)系來表示了，使用集合的形式也就是只有那些坐標(biāo)能滿足約束方程的那些點才能被算作是該線的點，從而線的圖像也就繪制出來了。這樣約束方程和曲線也一一對應(yīng)起來了。
接著，讓我們試著讓方程發(fā)生改變，看看曲線將如何變化，反過來操作道理也是一樣的。假設(shè)，我們在方程里的 前添加系數(shù)2（變換），變成，這樣，原來的曲線上的點的坐標(biāo)就不能滿足新方程了，它們的 x 坐標(biāo)太大了，被擴大了 2 倍，于是曲線上每個點的 x 坐標(biāo)都要縮小為原來的倍（變換），這樣代入后就可以滿足方程了。讓我們進一步觀察方程中的 ，它首先被外部的添加了系數(shù)2，然后為了繼續(xù)滿足原方程的約束關(guān)系，它自己內(nèi)部要乘于 ,也就是 ，于是新的坐標(biāo) ，這條式子既是新舊坐標(biāo)的變換式，也是圖像變換的坐標(biāo)含義，而且對于每一個坐標(biāo)點都要做這樣的變換。
這就是為什么對方程式的變量做變換，而圖像上每個點的坐標(biāo)都要做變換 的原因，因為這樣就相互抵消掉了，使原約束關(guān)系的等號仍然成立，對方程式的變量做的變換是外部的，是顯而易見的，而對坐標(biāo)的變換是內(nèi)部的，是隱含的。在動點代入法中，得到這些理解是容易的，但依然缺乏幾何的相對性的直觀，筆者希望有一種幾何的直觀理解，如速度的相對性般直觀。

圖2 坐標(biāo)系和坐標(biāo)、方程與圖像的同變異變關(guān)系示意圖

計算舉例

例題1，求單位圓經(jīng)過伸縮變換 (將所有點的橫坐標(biāo)變成原來的兩倍) 后的方程
思路,對于坐標(biāo)點的伸縮變換,反解即為對坐標(biāo)系的伸縮變換,對坐標(biāo)系的伸縮變換與方程是同變的.
反解有(這條式子的意義是,對坐標(biāo)系的x軸進行壓縮) ,將此式代入原方程即可

例題2, 將sin(x)變成sin(wx+b),求其圖像應(yīng)如何變換?
思路,方程的變換與坐標(biāo)系的伸縮變換與是同變的,圖像變換即坐標(biāo)變換,坐標(biāo)系與坐標(biāo)是反變的,只要反解方程變換,就可以得到圖像變換.(或者直接說方程與圖像是反變的)
上式就是對x軸進行伸縮變換,而圖像各點坐標(biāo)是以坐標(biāo)系的基底的,也就是說是反變關(guān)系,那么反解出也就是坐標(biāo)變換式,也就是圖像要向左b單位,然后橫坐標(biāo)縮為原來的1/w倍.

例題3,將k為1的反比例系數(shù)函數(shù)的圖像順時針旋轉(zhuǎn)45°,寫出旋轉(zhuǎn)后的方程
分析:將圖像順時針旋轉(zhuǎn)45°,相對的,就是將坐標(biāo)系逆時針旋轉(zhuǎn)45°,而坐標(biāo)系與方程是同變的.
對于1式
寫出坐標(biāo)系的變換式(類似于賦值),R為逆時針旋轉(zhuǎn)45°的旋轉(zhuǎn)矩陣

即

將45°代入方程有

將上式代入1式,整理有

有了矩陣工具后,應(yīng)用基坐標(biāo)方程揭示的反變關(guān)系,理解題目中對象的同變關(guān)系,我們可以對直角坐標(biāo)系內(nèi)任意曲線進行各類操作,它們的圖像和方程都是明了的
上面只舉例了在數(shù)軸,平面上的應(yīng)用,在三維空間同樣是適用的,至于提到的線性空間里的基向量組和該空間內(nèi)的向量則是可以一直推廣到無限維的,我們對各維的基底和描述量都可以進行各種操作.線性空間的向量并不局限于數(shù)字,凡是滿足8條運算律的對象,都可以構(gòu)建起線性空間.

一個小遐想

對于一維數(shù)軸上的單位換算,描述量1乘于單位1=描述量2乘于單位2=無量綱的新量3(似乎是絕對量),這個新量有什么含義?
如果把數(shù)軸變成時間軸,其單位是一段時間長度,1min=60s,我們定義某些速度是往往需要以時間作為分母,那如果要定量時間的流速呢?假設(shè)時間的流速并不是宇宙空間每一處都完全均勻的,那要用什么單位去描述時間的流速呢?一個嘗試是,假如一個物理變換過程的量是以時間流速相關(guān)的,比如每1單位的時間流速就變動k個單位,那么就可以根據(jù)同一個過程的物理變換的量的比例來反映兩地的時間流速比例

如果不存在某種"通用貨幣",即不同時間流速只可能是在相對比較中得到的,例如a地是b地的兩倍,c地是a地的兩倍,但同時c地也是a地的兩倍,它們內(nèi)部是不一致的,這個時候是不是又只有相對的換算比例?

時間的外部流速是一回事,假如再引入主觀感受流速,或者感受能力,對于同樣的外部的時間流速,感受時間能力強的人認為,時間好像過的挺慢的.

在各國貨幣里,我們應(yīng)該也要有一個中心貨幣,不然可能導(dǎo)致缺乏一致性,而有一條路子可以僅僅通過不斷的換幣就導(dǎo)致數(shù)量的增減bug.

文章后面的疑問

一、在敘述基坐標(biāo)方程和反變關(guān)系時，基底 被寫成是各基向量的列向量組，對它的變換 寫在右邊，這嚴(yán)謹嗎，合法嗎？反變關(guān)系那里的證明是不是玩文字游戲，或者十分不嚴(yán)謹，所以才如此簡潔？

二、另外，本文故意忽略了線性變換和變換之間的區(qū)別，使用矩陣來描述的變換應(yīng)該是線性的情況，雖然平移可以通過升維構(gòu)造為線性的，但是還有其他很多變換，也一樣滿足基坐標(biāo)方程嗎？如果不滿足，該如何修正？

三、對于笛卡爾坐標(biāo)系（空間）上的曲線方程和曲線圖像（坐標(biāo)點），它們的基底和描述量關(guān)系、它們的同變、反變關(guān)系的，如何去證明？它們真的適用基底和描述量的關(guān)系嗎？還是僅僅單純具有某種反變關(guān)系？