##一. 有理數(shù)的域

###1.1 前言 :

1. **有理數(shù)定義** : 可以寫成形如$\frac{p}{q}$分式形式的數(shù) , 稱為有理數(shù)

有理數(shù)的這個(gè)定義限制了有理數(shù)的表示范圍,并非所有數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)形式 , 比如$\sqrt{2}$. 證明過程如下:

>? 反證 :

設(shè)存在既約分?jǐn)?shù)$\frac{p}{q}$=$\sqrt{2}$ , 則存在$p^2=2q^2$ , 因此$p^2$為偶數(shù),推得p為偶數(shù)(奇數(shù)的平方還是奇數(shù),沒有2因子) ; 所以 , 設(shè)p=2r , 代入得$q^2=2r^2$ , 同理q為偶數(shù); 此時(shí)p,q均為偶數(shù), 存在公因子2,與題設(shè)既約分?jǐn)?shù)矛盾,得證.