立體幾何之目：2019年全國卷A題12~常用四面體之二

2019年全國卷A題12

12.已知三棱錐 P-ABC 的四個頂點在球 O 的球面上，PA=PB=PC，\triangle ABC 是邊長為 2 的正三角形，E，F(xiàn) 分別是PA，AB 的中點，\angle CEF=90°，則球 O 的體積為

A.8\sqrt{6}\pi \qquad B.4\sqrt{6}\pi \qquad C.2\sqrt{6}\pi \qquad D.\sqrt{6}\pi

2019年全國卷A題12

【解析】

因為 E，F(xiàn) 分別是PA，AB 的中點，\angle CEF=90°，

所以 EF 是 \triangle PAB 的中位線, EF // PB，PB \perp CE.

又因為 PA=PB=PC，所以 \triangle PAB, \triangle PBC, \triangle PCA 是等腰三角形，所以 PB \perp AC, PC \perp AB, PA \perp BC,

因為 PB \perp AC, PB \perp CE, AC \cap CE = C, 所以 PB \perp 平面 PAC, 所以 PB \perp PA, PB \perp PC.

因為 \triangle ABC 是正三角形，PA=PB=PC，所以 \triangle PAB \cong \triangle PBC \cong \triangle PAC

所以 PA \perp PC.

所以，\triangle PAB, \triangle PBC, \triangle PAC 是三個全等的等腰直角三角形. PA=PB=PC=\sqrt{2}

V_{P-ABC}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times PA \times PB \times PC=\dfrac{\sqrt{2}}{3}

三角形ABC與其外接圓

S_{\triangle{ABC}}=\sqrt{3}

記 \triangle ABC 的中心為 Q, 則
PQ=\dfrac{3V_{P-ABC}}{S_{\triangle{ABC}}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}

四面體與外接球的側視圖

四面體 P-ABC 與外接球的關系可以用上面的示意圖來表示.

因為 \angle PCG=\angle PQC=90°，所以 \dfrac{PC}{PG}=\dfrac{PQ}{PC}

2R=PQ=\dfrac{PC^2}{PQ}=\sqrt{6}

R=\dfrac{\sqrt{6} } {2}

V=\dfrac{4}{3}\pi R^3 = \sqrt{6} \pi

結論：選項D正確。

【提煉與提高】

這是一道壓軸題，雖然是客觀題，卻具有綜合大題的豐富內涵。

考生需要闖過多道關卡，才能把這5分拿到。

核心的部分在于：根據(jù)中位線的性質得出線線平行；再由線線垂直得出線面垂直。從而得出我們所熟悉的四面體：由一個正三角形和三個等腰直角三角形構成的四面體。

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