基本運(yùn)算

每一種基本運(yùn)算的結(jié)果都是一個(gè)新的關(guān)系，可以用這個(gè)關(guān)系繼續(xù)參與運(yùn)算，借此便可進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算

• 選擇運(yùn)算（select）==>相當(dāng)于SQL語(yǔ)句中的WHERE子句的職能

  • 格式：σ_選擇謂詞(關(guān)系)

  • 舉個(gè)栗子：

    • σ_SAL>1000(EMP)

    • 上式表示取出查詢工資大于1000的所有員工的信息

    • 等價(jià)于下面的SQL語(yǔ)句

    SELECT *
    FROM EMP
    WHERE SAL > 1000
    

  • 選擇謂詞的分類
    • 比較：=、≠、<、≤、>和≥
    • 連詞：and(∧)、or(∨)和not(?)==>可以將多個(gè)謂詞合并成一個(gè)大的謂詞
    • 可以包括兩個(gè)屬性（字段的比較）：σ_COMM>SAL(EMP)表示抽成大于工資的人

• 投影運(yùn)算（project）==>相當(dāng)于SQL語(yǔ)句中的SELECT子句的職能

  • 格式：∏_字段序列(關(guān)系)

  • 舉個(gè)栗子

    • ∏_ENAME,SAL(EMP)

    • 上式表示查看所有員工的姓名和工資

    • 等價(jià)于下面的SQL語(yǔ)句

    SELECT ENAME, SAL
    FROM EMP
    

• 關(guān)系的組合運(yùn)算==>就像SQL中select、where子句那樣的組合效果

  • 舉個(gè)栗子

    • ∏_ENAME,SAL(σ_SAL>1000(EMP))

    • 上面的式子求出了所有工資大于1000的員工的名字和工資(實(shí)際上就是將σ_SAL>1000(EMP)執(zhí)行的結(jié)果當(dāng)做一個(gè)臨時(shí)的關(guān)系，參與了投影運(yùn)算得到的)

    • 等價(jià)于下面的SQL語(yǔ)句

    SELECT ENAME, SAL
    FROM EMP
    WHERE SAL > 1000
    

  • 事實(shí)關(guān)系的組合運(yùn)算就是那么簡(jiǎn)單，分析的時(shí)候把每個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)算的結(jié)果當(dāng)做一個(gè)新的關(guān)系參與后面的運(yùn)算，這樣一層層剝開(kāi)來(lái)，再?gòu)?fù)雜的語(yǔ)句也變得容易分析

• 并運(yùn)算（union）==>相當(dāng)于SQL中UNION關(guān)鍵字的職能

  • 格式：（關(guān)系r）∪（關(guān)系s）

  • 舉個(gè)栗子

    • ∏_ENAME,SAL(σ_SAL>1000(EMP)) ∪ ∏_ENAME,SAL(σ_COMM>300(EMP))

    • 上面的式子求出了所有工資大于1000或抽成大于300的員工的姓名和工資，等價(jià)于下面的SQL語(yǔ)句

    SELECT ENAME, SAL
    FROM EMP
    WHERE SAL > 1000
    UNION
    SELECT ENAME, SAL
    FROM EMP
    WHERE COMM > 300
    

  • 幾點(diǎn)需要額外注意的：

    • 此處的并運(yùn)算是集合運(yùn)算，所以結(jié)果是去重的，結(jié)果集中不存在重復(fù)的元組（而在SQL語(yǔ)句中，指定UNION ALL是可以保留重復(fù)的）

    • 關(guān)系r與關(guān)系s必須是同元的，即它們的屬性的數(shù)目要求必須相同（這就和SQL語(yǔ)句中UNION使用的時(shí)候要求上下兩個(gè)語(yǔ)句的字段數(shù)相同是一樣的意思）

    • 關(guān)系r和關(guān)系s對(duì)應(yīng)位置的屬性域應(yīng)該是類型兼容的（同樣和SQL中UNION使用時(shí)，每個(gè)對(duì)應(yīng)位置字段類型兼容是一樣的意思）

• 集合的差運(yùn)算（set-defference）==>相當(dāng)于SQL語(yǔ)句中的EXCEPT

  • 格式：(關(guān)系r)-(關(guān)系s)

  • 舉個(gè)栗子
    • ∏_ENAME,SAL(σ_SAL>1000(EMP)) - ∏_ENAME,SAL(σ_COMM>300(EMP))
    • 上面的式子表示工資大于1000但抽成不大于300的員工的姓名和工資，等價(jià)于下面的SQL語(yǔ)句

    SELECT ENAME, SAL
    FROM EMP
    WHERE SAL > 1000
    EXCEPT
    SELECT ENAME, SAL
    FROM EMP
    WHERE COMM > 300
    

  • 幾點(diǎn)需要額外注意的：
    • 此處的注意同上面的并運(yùn)算的注意事項(xiàng)

• 笛卡爾積運(yùn)算（Cartesian-product）==>等價(jià)于SQL語(yǔ)句中兩個(gè)表進(jìn)行笛卡爾積（全匹配）得到的結(jié)果，即SQL中進(jìn)行多表連接時(shí)不指定連接條件的情況

  • 格式：(關(guān)系r)×(關(guān)系)

  • 舉個(gè)栗子：
    • EMP × DEPT
    • 上面的式子表示兩個(gè)表進(jìn)行全匹配，等價(jià)于下面的SQL語(yǔ)句

    SELECT *
    FROM EMP, DEPT
    

  • 下面兩個(gè)式子是等價(jià)的
    • ∏_ENAME,DNAME(σ_{EMP.DEPTNO=DEPT.DEPTNO}(σ_{JOB="MANAGER"}(EMP×DEPT)))
    • ∏_ENAME,DNAME(σ_{EMP.DEPTNO=DEPT.DEPTNO}((σ_{JOB="MANAGER"}(EMP))×DEPT)
    • 下面是對(duì)這兩個(gè)式子的SQL轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化之后就一目了然了

      -- 對(duì)應(yīng)第一個(gè)式子
      SELECT ENAME, DNAME
      FROM EMP JOIN DEPT ON EMP.DEPTNO = DEPT.DEPTNO
      WHERE JOB = 'MANAGER'
      
      -- 對(duì)應(yīng)第二個(gè)式子
      SELECT ENAME, DNAME
      FROM DEPT JOIN (SELECT *
                      FROM EMP
                      WHERE JOB = 'MANAGER')
                ON EMP.DEPTNO = DEPT.DEPTNO
      

• 更名運(yùn)算（rename）==>等價(jià)于SQL語(yǔ)句中as的職能

  • 格式：ρ_{X(A1,A2,...,An)}(E)==>表示的是將關(guān)系E更名為X，A_i表示的是給E的第i個(gè)字段指定別名

  • 舉個(gè)栗子
    • ∏_ENAME,DNAME(σ_{e.DEPTNO=d.DEPTNO}(σ_{JOB="MANAGER"}(ρ_e(EMP)×ρ_d(DEPT))))
    • 上面式子含義就不解釋了，是上面舉的栗子，只是引入了更名運(yùn)算符，它等價(jià)于下面的SQL語(yǔ)句

    SELECT ENAME, DNAME
    FROM EMP e JOIN DEPT d ON e.DEPTNO = d.DEPTNO
    WHERE JOB = 'MANAGER'
    

• 來(lái)，學(xué)習(xí)完上面的基本運(yùn)算，來(lái)做個(gè)實(shí)際的栗子，要求找到員工表中的最高工資（因?yàn)槟壳斑€沒(méi)有介紹類似SQL中組函數(shù)的操作，后面會(huì)介紹。所以通過(guò)以下方式來(lái)實(shí)現(xiàn)）

  • step1: 找到所有不是最高工資的人
    • ∏_e1.SAL(σ_{e1.sal < e2.sal}(ρ_e1(EMP)×ρ_e2(EMP)))
  • step2: 用所有的員工減去上面的員工，即得到最高工資
    • ∏_SAL(EMP) - ∏_e1.SAL(σ_{e1.sal < e2.sal}(ρ_e1(EMP)×ρ_e2(EMP)))

• 在書寫關(guān)系運(yùn)算表達(dá)式的時(shí)候可以用序列號(hào)代替字段名（但是不直觀，不常用，一般不用）

  • 舉個(gè)栗子
    • ∏_$6(σ_{$6 < $14}(EMP×EMP))
    • 等價(jià)于下面的運(yùn)算
    • ∏_e1.SAL(σ_{e1.sal < e2.sal}(ρ_e1(EMP)×ρ_e2(EMP)))

附加運(yùn)算

附加運(yùn)算是由基本運(yùn)算組成的，不能增強(qiáng)基本運(yùn)算的運(yùn)算能力，但是能簡(jiǎn)化運(yùn)算

• 集合交運(yùn)算（intersection）==>相當(dāng)于SQL語(yǔ)句中INTERSECT關(guān)鍵字的職能

  • 格式：(關(guān)系r)∩(關(guān)系s)

  • 因?yàn)榧辖贿\(yùn)算是可以由前面的基本運(yùn)算組合產(chǎn)生的，所以把它歸到附加運(yùn)算
    • A ∩ B <=> A - (A - B)
  • 舉個(gè)栗子
    • ∏_ENAME,SAL(σ_SAL>1000(EMP)) ∩ ∏_ENAME,SAL(σ_COMM>300(EMP))
    • 上面的式子表示工資大于1000并且抽成大于300的員工的姓名和工資，等價(jià)于下面的SQL語(yǔ)句

    SELECT ENAME, SAL
    FROM EMP
    WHERE SAL > 1000
    INTERSECT
    SELECT ENAME, SAL
    FROM EMP
    WHERE COMM > 300
    

• 自然連接（natural join）==> 相當(dāng)于SQL語(yǔ)句中的NATURAL JOIN

  • 格式：(關(guān)系)?(關(guān)系)

  • 自然連接的形式化定義

    • r,s是兩個(gè)關(guān)系
    • R，S是上面兩個(gè)關(guān)系對(duì)應(yīng)的關(guān)系模式（其實(shí)就是上述兩個(gè)關(guān)系各自的屬性列表）
    • R ∩ S 表示r和s的同名屬性列表
    • R ∪ S 表示出現(xiàn)在r或s上的屬性名列表(是一個(gè)集合，不包同名屬性，存在同名屬性會(huì)去重)
    • R - S 表示出現(xiàn)在R上，但不出現(xiàn)在S上的屬性名列表
    • 則可做如下定義
    • r?s = ∏_R∪S(σ_{r.A1=s.A1 ∧ r.A2=s.A2 ∧ ... ∧ r.An=s.An}(r×s)) ，其中 R∩S={A₁, A₂, ..., A_n}
  • 舉個(gè)栗子
    • ∏_{name, course_id}(instructor ? teaches)
    • 上面的式子列出了所有老師的名字以及其所授課程的id，等價(jià)于下面的SQL語(yǔ)句

    SELECT name, course_id
    FROM intructor natural join teaches
    

  ps: 兩個(gè)關(guān)系模式執(zhí)行自然連接以后屬性的排布順序：

  • 排在最前面的是兩個(gè)關(guān)系模式相同的屬性
  • 其次是只屬于第一個(gè)關(guān)系模式的屬性
  • 最后是只屬于第二個(gè)關(guān)系模式的屬性

  ?。?！所以所兩個(gè)關(guān)系模式進(jìn)行自然連接以后，總的屬性的個(gè)數(shù)是減少了，具體減少的個(gè)數(shù)等于同名屬性的個(gè)數(shù)

• theta連接==>是帶限定條件的笛卡爾積

  • 格式：(關(guān)系)?_Θ(關(guān)系)

  • 形式化定義：
    • r ?_Θ s = σ_Θ(r × s)
  • 舉個(gè)栗子
    • ∏_{name, course_id}(instructor ?_{instructor.ID = teaches.ID ∧ instructor.salary > 5000} teaches)
    • 上面的式子表示列出所有工資大于5000的老師的名字以及其所授課程的id， 等價(jià)于下面的SQL語(yǔ)句

    -- 使用 join...on 的時(shí)候 on 后面寫連接條件，然后將其它條件放在where里
    SELECT name, course_id
    FROM instructor join teaches on instructor.ID = teaches.ID
    WHERE instructor.salary > 5000     
    

• 除運(yùn)算（division）

  這個(gè)在書上沒(méi)講，是老師上課的時(shí)候補(bǔ)充的

  • 格式：(關(guān)系)÷(關(guān)系)

  • 形式化定義：
    R÷S = ∏_R∪S( ( ∏_R-S(r) × S ) - ∏_{R-S, S}(r) )
  • 解釋起來(lái)挺麻煩的，這邊給出一個(gè)博客鏈接：點(diǎn)我

• 賦值運(yùn)算

  就是將一個(gè)關(guān)系表達(dá)式的結(jié)果賦值取一個(gè)臨時(shí)的名字，就相當(dāng)于定義了一個(gè)臨時(shí)關(guān)系。這個(gè)操作就相當(dāng)于SQL中with語(yǔ)句的職能

  • 格式： temp_name ← 關(guān)系表達(dá)式

  • 舉個(gè)栗子：
    temp1 ← R × S
    temp2 ← σ_{r.A1=s.A1 ∧ r.A2=s.A2 ∧ ... ∧ r.An=s.An}(temp1)
    result = ∏_R∪S(temp2)
  • 上面的式子等價(jià)于： result = r?s

• 外連接運(yùn)算

  • 左外連：?
  • 右外連：?
  • 全外連：?

擴(kuò)展運(yùn)算

擴(kuò)展運(yùn)算是不能用基本的關(guān)系代數(shù)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)的一類查詢，可以滿足復(fù)雜的查詢需求

• 廣義投影（Generalized-projection）

  與基本運(yùn)算中的投影運(yùn)算相比，就是多了允許在選擇列表中出現(xiàn)表達(dá)式（在基本運(yùn)算中的投影的選擇列表中只能出現(xiàn)字段）

  • 格式：∏_{F1, F2, ... , Fn}(E)

    • 其中F₁, F₂, ... , F_n可以是字段或者是表達(dá)式
    • E代表一個(gè)關(guān)系
  • 舉個(gè)栗子：

    • ∏_{name, sal * 1.2}(instructor)

    • 上面的式子表示查出所有老師的名字，以及漲了20%以后的工資，等價(jià)于下面的SQL語(yǔ)句

    SELECT name, sal * 1.2
    FROM instructor
    

• 聚集函數(shù)（Aggregation function）

  聚集函數(shù)的符號(hào)表示是用書寫體G，這邊就直接用G指代了

  聚集函數(shù)是輸入值的一個(gè)匯聚，以多個(gè)值作為輸入，將一個(gè)單一的值作為返回結(jié)果

  多重集：使用聚集函數(shù)對(duì)其進(jìn)行操作的匯集中，一個(gè)值可以出現(xiàn)多次，值出現(xiàn)的順序是無(wú)關(guān)緊要的。這樣的匯集稱為多重集（就比方說(shuō)統(tǒng)計(jì)一個(gè)員工表中員工的數(shù)量，然后我們通過(guò)統(tǒng)計(jì)員工的名字來(lái)統(tǒng)計(jì)，即便是同名的員工我們也是計(jì)算的）

  • 格式： _{G1, G2, ... , Gn}G_{F1(A1), F2(A2), ..., Fn(An)}(E)

    • 其中前面的G₁, G₂, ... , G_n表示的是分組條件
    • 后面的F₁(A₁), F₂(A₂), ..., F_n(A_n)是聚集函數(shù)表達(dá)式列表
    • F_i(i = 1, 2, ..., n)表示聚集函數(shù)：sum、count、average、max、min
    • A₁, A₂, ... , A_n代表字段
  • 舉個(gè)栗子：
    • _{A1, A2}G_sum(A3)(∏_{A1, A2, ..., An}(σ_P(r₁×r₂×...×r_m)) )
    • 等價(jià)于下面的SQL語(yǔ)句

    SELECT A1, A2, sum(A3)
    FROM r1, r2, ..., rm
    WHERE P
    GROUP BY A1, A2
    

  • 上面的聚集函數(shù)在進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候采用的都是多重集，也就是相同的值可以多次重復(fù)計(jì)算（也就是在執(zhí)行聚集函數(shù)的時(shí)候是不去重計(jì)算），如果要去重計(jì)算的話就要采用下面的幾個(gè)函數(shù)寫法
    • sum_distinct
    • count_distinct
    • averag_distinct
    • max_distinct
    • min_distinct
  • 舉個(gè)栗子：
    • _{A1, A2}G_{sum_distinct(A3)}(∏_{A1, A2, ..., An}(σ_P(r₁×r₂×...×r_m)) )
    • 上面的式子等價(jià)于下面的SQL語(yǔ)句

    SELECT A1, A2, sum(distinct A3)
    FROM r1, r2, ..., rm
    WHERE P
    GROUP BY A1, A2