1.無符號(hào)數(shù)的加法運(yùn)算

• 下面兩個(gè)無符號(hào)數(shù)相加我們希望得到的結(jié)果是256，但是實(shí)際的運(yùn)行結(jié)果卻是0。原因是：a+b的和已經(jīng)超過了unsigned char類型所能表示的最大值255，我們稱這個(gè)情況為溢出。

  unsigned char a = 255;
  unsigned char b = 1;
  
  unsigned char c = a + b;
  printf("c=%d\n", c)
  

無符號(hào)數(shù)表示范圍.jpg

2.無符號(hào)數(shù)的加法溢出

• 對(duì)于操作數(shù)x和y，兩者的取值范圍都是大于等于0，小于2的w次方。對(duì)于兩者相加的和，如果小于2的w次方，那么程序執(zhí)行的結(jié)果與實(shí)際情況一致；如果大于或等于2的w次方，此時(shí)就會(huì)發(fā)生溢出。

無符號(hào)數(shù)的溢出.jpg

• 變量a和變量b的二進(jìn)制表示如下圖所示，為了使得運(yùn)算結(jié)果 的數(shù)據(jù)位數(shù)保持w位不變，最高位的1會(huì)被丟棄。因此，得到的結(jié)果相當(dāng)于減去2的w次方。在C語言執(zhí)行的過程中，對(duì)于溢出的情況并不會(huì)報(bào)錯(cuò)。

數(shù)據(jù)溢出原理.jpg

3.如何判斷無符號(hào)數(shù)的數(shù)據(jù)溢出

• 由于下面函數(shù)的兩個(gè)形參x和y都是大于等于0的，因此兩者之和一定大于等于其中的任意一個(gè)數(shù)。于是，可以使用下面的代碼來判斷是否發(fā)生了溢出。如果返回值為1，表示運(yùn)算結(jié)果正常；如果返回值為0，則表示發(fā)生了溢出。

  int uadd_ok(unsigned x, unsigned y) {
      unsigned sum = x + y;
      if(sum >= x)
          return 1;
      else
          return 0;  // 發(fā)生了數(shù)據(jù)溢出
  }
  

• 上述判斷條件的正確性：由于x和y都是非負(fù)數(shù)，x+y的和一定是大于或等于其中的一個(gè)數(shù)。當(dāng)發(fā)生溢出時(shí)，x+y的運(yùn)行結(jié)果等于x加y減去2的w次方。根據(jù)y的取值范圍可知，y的取值是小于2的w次方。因此，y減去2的w次方是小于0。最終，非負(fù)數(shù)x加上一個(gè)小于0的數(shù)后，結(jié)果一定是小于x的。由此可以證明，當(dāng)發(fā)生數(shù)據(jù)溢出時(shí)，得到的和小于其中任意一個(gè)數(shù)(x或者y)。

4.有符號(hào)數(shù)的加法運(yùn)算

• 有符號(hào)數(shù)x和y的取值范圍如下圖所示，對(duì)于補(bǔ)碼的加法運(yùn)算，需要引入一個(gè)符號(hào)t來表示補(bǔ)碼。想要準(zhǔn)確的表示有符號(hào)數(shù)相加的結(jié)果，需要w+1位。為了避免數(shù)據(jù)大小的擴(kuò)張，最終結(jié)果將截?cái)喑蓋位來表示。有符號(hào)數(shù)的溢出分為正溢出和負(fù)溢出，當(dāng)x+y的和大于等于2的w-1次方時(shí)，發(fā)生正溢出。此時(shí)，得到的結(jié)果會(huì)減去2的w次方；當(dāng)x加y的和小于負(fù)的2的w-1次方時(shí)，發(fā)生負(fù)溢出。此時(shí)，得到的結(jié)果要加上2的w次方。

有符號(hào)數(shù)的溢出.jpg

• 下面的代碼表示兩個(gè)有符號(hào)數(shù)相加的結(jié)果，我們期望的結(jié)果是128而實(shí)際的結(jié)果卻是-128。

  char x = 127;
  char y = 1;
  
  char z = x + y;
  printf("z=%d\n", z);  // -128，發(fā)生了正溢出
  
  
  char x = -128;
  char y = -1;
  
  char z = x + y;
  printf("z=%d\n", z);  // 127，發(fā)生了負(fù)溢出
  

正溢出.jpg

負(fù)溢出.jpg

5.如何判斷有符號(hào)數(shù)的數(shù)據(jù)溢出

• 判斷條件：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)相加，得到的結(jié)果為負(fù)，則說明發(fā)生了正溢出；當(dāng)兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，得到的結(jié)果為正，則說明發(fā)生了負(fù)溢出。

有符號(hào)數(shù)加法運(yùn)算數(shù)據(jù)溢出判斷.jpg

6.無符號(hào)數(shù)的乘法運(yùn)算

• 對(duì)于w位的無符號(hào)數(shù)x和y，具體表示如下圖所示。兩者的乘積可能需要2w位表示。在C語言中，定義了無符號(hào)數(shù)乘法所產(chǎn)生的結(jié)果是w位。因此，運(yùn)行結(jié)果會(huì)截取2w中的低w位。因此，運(yùn)行結(jié)果等于x與y的乘積并對(duì)2的w次方取模。

無符號(hào)數(shù)的乘法運(yùn)算.jpg

7.有符號(hào)數(shù)的乘法運(yùn)算

• 對(duì)于w位的有符號(hào)數(shù)x和y，具體表示如下圖所示。兩者的乘積可能需要2w位表示。在C語言中，定義了有符號(hào)數(shù)乘法所產(chǎn)生的結(jié)果是w位。因此，運(yùn)行結(jié)果會(huì)截取2w中的低w位。因此，運(yùn)行結(jié)果等于x與y的乘積并對(duì)2的w次方取模，然后將無符號(hào)數(shù)轉(zhuǎn)換成有符號(hào)數(shù)。

有符號(hào)數(shù)的乘法運(yùn)算.jpg

• 由于乘法指令的執(zhí)行需要多個(gè)時(shí)鐘周期，很多C語言的編譯器試圖使用移位和加法、減法來代替整數(shù)乘法的操作。對(duì)整數(shù)的除法運(yùn)算使用的右移運(yùn)算，無符號(hào)數(shù)采用的是邏輯右移，而有符號(hào)數(shù)采用的是算術(shù)右移。

整數(shù)乘以2的冪轉(zhuǎn)換為左移操作.jpg

整數(shù)的乘法轉(zhuǎn)換為左移和加減法運(yùn)算.jpg

• 整數(shù)的除法可能遇到除不盡的情況，結(jié)果總是會(huì)朝著向0的方向進(jìn)行舍入。對(duì)于x大于等于0且y大于0的情況，結(jié)果總會(huì)是向下舍入；當(dāng)x小于0且y大于0時(shí)，結(jié)果將向上舍入。

整數(shù)的取整運(yùn)算.jpg

8.參考資料

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