我們考察函子和自然映射構(gòu)成的范疇中的限制的存在性。

考慮范疇ACD，其中CD是小范疇。設(shè)是一個函子，代表函子范疇。如果對任意的對象C，函子有限制，那么F就有限制，并且可以逐點求出。

作為一個直接的結(jié)論，我們得到

考慮完備范疇A和小范疇C，在這樣的條件下，函子范疇是完備的而且限制可以逐點求出。

考慮帶拉回的范疇A以及小范疇C，給出兩個函子FG和他們之間的一個自然映射，這個自然映射是單態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)對任意對象C，誘導(dǎo)的自然映射是范疇A中的單態(tài)。

考慮小范疇C和到集合范疇的函子范疇

1.函子范疇是完備的和余完備的

2.函子范疇中，有限限制和濾過余限制交換

3.函子范疇中，余限制是萬有的

考慮小范疇C，反變米田嵌入。這個嵌入函子保持限制

考慮小范疇C和到集合范疇的函子F，函子范疇中，F(xiàn)可以表示為一個圖的余限制，由可表函子和可表自然映射組成的圖。

a.考慮一個群G，以及G-集合范疇，這個范疇其實是群操作范疇，由序?qū)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=(E%2C%5Cbullet%20)" alt="(E,\bullet )" mathimg="1">構(gòu)成，E是某個集合，圓點是群操作，滿足公理恒等元和結(jié)合律。群集合之間的態(tài)射可視為對集合的映射?？梢詫⑷篏視為只含一個對象的范疇，箭頭是對象的自映射，復(fù)合由群乘法給出。群集合與相應(yīng)的同態(tài)實際上就是群自身范疇到集合范疇的函子范疇，給出一個群操作實際上就是對每個群元素給出一個群元素和集合元素的乘法。

由上面的定理，我們推得群集合范疇是完備的，余完備的，有限限制和濾過余限制交換，而且余限制是萬有的。

考慮群自身范疇到集合范疇的唯一可表函子，實際上就是群集合，標(biāo)量乘就是群乘法。每個群集合可以表示為僅包含基本群集合的圖的余限制。

b.函子范疇可以是完備的，即使A不是完備的。一個顯然的例子是取A和C為空的，A是不完備的或者不余完備的，因為他沒有終對象或者初始對象。但是函子范疇有唯一的對象，即空函子，還有恒等態(tài)射，這個函子范疇顯然是完備的，余完備的。由于C沒有對象，函子范疇的限制仍然是逐點的，空成立。練習(xí)中有一個非逐點的限制。

快了，這一章快結(jié)束了，群操作，群操作范疇，在代數(shù)第0課上看過了，現(xiàn)在想想那本書真是太坑人了，哪是第0課，分明是高階課程，直接從范疇論觀點講代數(shù)結(jié)構(gòu)還是太超前了，應(yīng)該從初等數(shù)學(xué)的范疇論開始，慢慢引入，可能會好一些？