切線法解圓錐曲線中的最值和范圍問題

方法二 切 線 法

切線法解圓錐曲線中的最值和范圍問題

使用情景：當所求的最值是圓錐曲線上點到某條直線y=kx+b的距離的最值時
解題步驟：

第一步 設(shè)出與這條直線平行的圓錐曲線的切線，
第二步 切線方程y=kx+b與曲線方程聯(lián)立，消元得到一個一元二次方程，且\Delta=0，求出b 的值，即可求出切線方程；
第三步 兩平行線間的距離就是所求的最值，切點就是曲線上去的最值時的點.
【例】 求橢圓\dfrac{x^2}{2}+y^2=1上的點到直線y=x+2\sqrt{3}的距離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點的坐標.

【解析】

設(shè)與直線y=x+2\sqrt{3}平行，且與橢圓相切的直線為y=x+b

\begin{cases}y=x+b\\\dfrac{x^2}{2}+y^2=1 \end{cases}……①

所以3x^2+4bx+2b^2-2=0……②

\Delta=(4b)^2-4 \times 3 \times(2b^2-2)=0

所以b=\pm\sqrt{3}

當時，代入②中，得切點坐標\left(-\dfrac{2\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)，此時d_{\min}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}；

當時，代入②中，得切點坐標\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)，此時d_{\max}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}.

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