函數(shù)的三要素

• 定義域：使得解析式有意義
• 對應(yīng)關(guān)系：兩個變量（x和y）以何種規(guī)則聯(lián)系起來
• 值域：隨著自變量的變化，因變量的“活動”范圍

函數(shù)最常用的數(shù)集（區(qū)間）

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函數(shù)的特性

1.函數(shù)的有界性
2.函數(shù)的單調(diào)性 ---> 單調(diào)遞增，單調(diào)遞減
3.函數(shù)的奇偶性 ----> f(-x) = f(x) f(x)為偶函數(shù) f(-x) = -f(x) ,f(x)為奇函數(shù)
4.函數(shù)的周期性

初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).

基本初等函數(shù)

1. 冪函數(shù) y=x^2

   
   
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2. 指數(shù)函數(shù) y=a^x(a>0,a不等于1)

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3. 對數(shù)函數(shù) y=logax

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4. 三角函數(shù)

Y = sinx,y=cosx,y=tanx

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5. 反三角函數(shù)

Y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx

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泊松分布

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高斯分布(正態(tài)分布)

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sigmoid函數(shù)

sigmoid函數(shù).png

三角函數(shù)

(cotx 余切函數(shù)，secx 正割函數(shù),cscx 余割函數(shù))

反函數(shù)

直接函數(shù)和反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱

復(fù)合函數(shù)

復(fù)合函數(shù).png

介值定理

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無窮小和無窮大

1.高階無窮小

• lim x^2/3x = 0 (在x->0 過程中，x^2 --> 0 比 x-->0 快一些

X->0

無窮大和無窮小.png

導(dǎo)數(shù)與積分

導(dǎo)數(shù)　描述函數(shù)的變化快慢

微分　　描述函數(shù)變化程度

曲線的斜率　　--->

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---> 導(dǎo)數(shù)

定義求導(dǎo):

單側(cè)導(dǎo)

設(shè)函數(shù)y = f(x)在點ｘ0的某個右(左)領(lǐng)域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱此極限為f(x)在x0處的右（左）導(dǎo)數(shù)．
定理　　y=f(x)在點x0可導(dǎo)的充要條件是左右導(dǎo)存在,且相等
定理 y=f(x)在點x可導(dǎo) -----> y=f(x)在點x處連續(xù), 不可互推

微分

定理　可微的充要條件是y=f(x)在點x0處可導(dǎo)

導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)，增量比的極限
導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率
可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)

互推

可導(dǎo)?。剑剑剑剑健】晌?

基本導(dǎo)數(shù)與微分表

反函數(shù)求導(dǎo)　　----> 先求出他的原函數(shù)(直接函數(shù))，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為直接函數(shù)的倒數(shù),1/f(x)

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) ---> 二個函數(shù)，分為內(nèi)外函數(shù)，先去求外部的函數(shù)導(dǎo)數(shù)，在去求內(nèi)部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

高階導(dǎo)數(shù) y^(4)　　４階以上的導(dǎo)數(shù)的表示方法.

導(dǎo)數(shù)的運算

• 法則1:兩個函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的
  和(差),
• 法則２:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
• 法則3:兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,再除以第二個函數(shù)的平方.即

不定積分

微分和積分互逆運算

微分　　求導(dǎo)數(shù)
積分　　知道導(dǎo)數(shù)的結(jié)果，求原函數(shù)

定理1 函數(shù)在f(x)區(qū)間Ｉ上連續(xù)，則f(x)在I上存在原函數(shù).

定理2 若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)是F(x)+C(C為任意常數(shù))

定義

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基本積分表利用逆向思維

不定積分的集合意義
F(x) 的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線.
F(x) 的所有積分曲線組成的平行曲線族

不定積分的性質(zhì)

1.不定積分的導(dǎo)數(shù)　---> 就是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ---> 就是已知的導(dǎo)數(shù)f(x)

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1.不定積分的導(dǎo)數(shù)　---> 就是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ---> 就是已知的導(dǎo)數(shù)f(x)
2.原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積分，就是f(x) ----> 求完積分為F(x)+

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求極值步驟

1.求導(dǎo)數(shù)
2.求駐點，和導(dǎo)數(shù)不存在的點(極值的可疑點)
3.檢測f(x)在可疑點左右的正負(fù)號，判斷極值點(檢測實在導(dǎo)數(shù)式)
4.求極值點

曲線的凹凸性

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求凹凸點步驟

1.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)
2.另導(dǎo)數(shù)　=0 ,找出實根和二階不可導(dǎo)點x0
3.用這些點劃分函數(shù)的區(qū)間
4.F(x)在這些區(qū)間的正負(fù)號，判斷凹凸區(qū)間
5.如果x0二近旁f(x)變號,點(x0,f(x0))即為拐點.
6.如果x0二近旁f(x)不變號,點(x0,f(x0))即不為拐點.

函數(shù)曲線的漸近線

直線 L 稱為曲線C的漸近曲線是指：曲線上的點P 沿曲線無限遠(yuǎn)離原點時，點P與直線的距離趨于0.
一般來說,漸近線可分為: 斜漸近線, 水平漸近線與垂直漸近線
斜漸近線X 水平漸近線- 垂直漸近線｜

定積分

我們稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分

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說明

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規(guī)定

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定積分的基本性質(zhì)

假設(shè)下面涉及到的函數(shù)均是可積的．

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