將兩范疇之間的函子視為對(duì)象，函子間的自然變換視為箭頭就可以構(gòu)成函子范疇，這樣的范疇是范疇上的范疇，往往稱為純粹的范疇論，高度抽象，難以理解。

不過(guò)，借助于指數(shù)結(jié)構(gòu)，函子范疇的構(gòu)造就很自然了。指數(shù)的來(lái)源是函數(shù)空間，比如兩集合的指數(shù)集合，就是兩集合間的所有函數(shù)的集合，在集合論中，往往記為B^A，其實(shí)也就是箭頭集Hom(A,B)，那么假如將集合換為范疇呢？

這就需要引入一個(gè)重要的范疇，包括所有小范疇的范疇Cat，也可以稱為小范疇范疇，名字有點(diǎn)拗口。在Cat中，對(duì)象是所有的小范疇，這里的小在這個(gè)系列最開始的時(shí)候解釋過(guò)了，指的是范疇的對(duì)象和箭頭都是集合，不會(huì)出現(xiàn)類的情形。Cat中的箭頭是范疇間的函子，由于小范疇間的所有函子總能構(gòu)成一個(gè)集合，所以Cat是局部小范疇，也就是指對(duì)象可以不構(gòu)成集合，但是任意兩對(duì)象間的箭頭構(gòu)成集合。

于是當(dāng)Hom(A,B)中的集合換為小范疇時(shí)，其實(shí)就是Cat中的箭頭集，所以，在B^A的基礎(chǔ)上構(gòu)建的指數(shù)范疇其實(shí)就是函子范疇Fun(A,B)，也就是范疇A,B間函子的范疇。

這個(gè)結(jié)論其實(shí)是和命題Cat是笛卡爾閉范疇CCC相關(guān)聯(lián)，因?yàn)镃CC要求范疇有有限積和指數(shù)，有限積就是指具有源對(duì)象0和二元積A×B，0就是零范疇，二元積就是兩范疇的積，指數(shù)B^A就是上面的函子范疇構(gòu)造。

所以，在Cat下，函子范疇就是指數(shù)范疇。

上面是正式定義，函子范疇自然也滿足范疇公理，包括存在恒等箭頭，滿足箭頭的結(jié)合律。

姑且試著解釋一個(gè)例子，圖范疇和函子范疇。首先，圖或者說(shuō)有向圖，可以分解為節(jié)點(diǎn)和箭頭，或者稱為頂點(diǎn)和邊，頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)集合，邊也構(gòu)成一個(gè)集合，同時(shí)還有邊集到頂點(diǎn)集的兩個(gè)函數(shù)，取起點(diǎn)和取終點(diǎn)函數(shù)，所以圖范疇的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)就是兩個(gè)集合以及兩個(gè)情形箭頭，如上圖所示。G1是邊集，G0是頂點(diǎn)集，t為target，取終點(diǎn)函數(shù)，s為source，取起點(diǎn)函數(shù)。

這些要素去除內(nèi)容，就是一個(gè)特殊的范疇，兩對(duì)象平行雙箭頭范疇，記為Γ。

那么，我們就可以據(jù)此將一個(gè)圖視為一個(gè)函子，也就是G:Γ→Sets，因?yàn)槿我饨o定一個(gè)這樣的函子就能得到一個(gè)相應(yīng)的圖，這個(gè)可以自己試一下，隨便寫出兩個(gè)集合，一個(gè)用大寫字母表示頂點(diǎn)集，一個(gè)用小寫字母表示邊集，然后任意指定兩集合間的兩個(gè)函數(shù)，最后就能對(duì)照著函數(shù)關(guān)系連接邊，從而畫出圖。圖到函子的對(duì)應(yīng)則是顯然的，圖中頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)到頂點(diǎn)集，邊對(duì)應(yīng)到邊集，函數(shù)對(duì)應(yīng)到函數(shù)。

所以圖就對(duì)應(yīng)著這樣的函子，圖同態(tài)對(duì)應(yīng)著函子間的自然映射，圖范疇就對(duì)應(yīng)著函子范疇。

Cat，在不同的書中定義也不太一樣，這里專指小范疇范疇，有的地方指所有范疇的范疇，這點(diǎn)要區(qū)分注意。這種名詞上的區(qū)別也是很重要的，尤其是對(duì)于發(fā)展中還沒(méi)有通用標(biāo)準(zhǔn)的領(lǐng)域。