關(guān)于在坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)平移物體的理論基礎(chǔ)解析
寫在前面
前幾日固體物理老師講了一大堆關(guān)于坐標(biāo)變換的內(nèi)容，聽的也是稀里糊涂。又和同學(xué)討論了一下如果一個(gè)物體圍繞坐標(biāo)系中任意軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，那么該如何計(jì)算其的旋轉(zhuǎn)矩陣？于是思考了一會(huì)我就想出了一個(gè)自認(rèn)為比較完善的方法，那就是將一個(gè)復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)操作拆分成幾步基礎(chǔ)旋轉(zhuǎn)操作，然后依次寫出旋轉(zhuǎn)矩陣后按照順序相乘即可。
其實(shí)這也是一種比較常見的做法，但因?yàn)槭亲约禾剿鞯降?，所以就對此比較上心，為了能夠?qū)⑵浔憩F(xiàn)得更加形象直觀，我也決定利用MATLAB和Python將其實(shí)現(xiàn)。
旋轉(zhuǎn)矩陣的理論解釋
因?yàn)檫@一段公式可能會(huì)比較多，所以我就直接放截圖了，這樣子也比較方便。
以上我們得到了三個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣，分別是繞x軸旋轉(zhuǎn)，繞y軸旋轉(zhuǎn)，繞z軸旋轉(zhuǎn)，下面我們開始定義操作。
定義旋轉(zhuǎn)操作
旋轉(zhuǎn)單次
我們定義：
- 繞x軸旋轉(zhuǎn)為操作A;
- 繞y軸旋轉(zhuǎn)為操作B;
- 繞z軸旋轉(zhuǎn)為操作C。
如果一個(gè)物體R想要繞x軸旋轉(zhuǎn)t角度，得到一個(gè)新的物體位置R'，我們可以寫為
R' = A(t)R
其中R與R'就是坐標(biāo)向量，A與R之間是向量乘法，A(t)代表的是繞x軸轉(zhuǎn)角度t。
當(dāng)然，一個(gè)物體不可能只有一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，如果存在多個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)R1,R2,R3，那么就一一乘上A(t)即可，也就是R1'=A(t)R1, R2'=A(t)R2, R3'=A(t)R3，最后得到新的物體的三個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)R1', R2', R3'。
連續(xù)多次旋轉(zhuǎn)
如果我們想讓這個(gè)物體首先繞x軸旋轉(zhuǎn)角度t1，然后再繞y軸旋轉(zhuǎn)角度t2，再繞z軸旋轉(zhuǎn)角度t3，那么我們該怎么寫？
我們一步一步看，首先是繞x軸旋轉(zhuǎn)角度t1，公式為R'=A(t1)R。此時(shí)旋轉(zhuǎn)后的物體的坐標(biāo)是R'。
然后是繞y軸旋轉(zhuǎn)角度t2，公式為R''=B(t2)R'。此時(shí)旋轉(zhuǎn)后的物體的坐標(biāo)是R''。
最后是繞z軸旋轉(zhuǎn)角度r3，公式為R'''=C(t3)R''。此時(shí)旋轉(zhuǎn)后的物體的坐標(biāo)是R'''。
也就是說后一個(gè)操作是對當(dāng)前物體的坐標(biāo)進(jìn)行操作。
那么我們兩個(gè)兩個(gè)看，聯(lián)立前兩個(gè)，先繞x軸t1角度再繞y軸t2角度，公式為R''=B(t2)R'=B(t2)A(t1)R。從公式中看這兩步操作實(shí)際上是對R乘了兩個(gè)矩陣B(t2)和A(t1)，這樣就變成了R''。
注意，操作按照先后次序，右邊的矩陣為先操作，左邊的矩陣為后操作。
那么同理我們可以得到旋轉(zhuǎn)三次后的坐標(biāo)R'''=C(t3)B(t2)A(t1)R。
同理，如果存在多次操作，我們只需要按照順序不斷的左乘旋轉(zhuǎn)矩陣就好。
進(jìn)階操作
不繞xyz軸旋轉(zhuǎn)，過原點(diǎn)繞任意軸進(jìn)行多次旋轉(zhuǎn)
如圖，我們要將物體繞著直線z=y按右手方向旋轉(zhuǎn)30度，這種情況就相對比較復(fù)雜了，因?yàn)樗⒉皇莤yz軸，所以我們旋轉(zhuǎn)時(shí)有以下三步操作：
將坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作，令$z=y$與原z軸重合，原z軸操作后的位置為z'軸；
將物體繞z軸按右手方向旋轉(zhuǎn)30度；
將坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作，令z'軸與原z軸重合。
正如上圖，左邊為原坐標(biāo)系，右邊為繞x軸旋轉(zhuǎn)45度后的新坐標(biāo)系，其中旋轉(zhuǎn)過后的坐標(biāo)系為xy'z'，我們想要繞著轉(zhuǎn)的直線（原z=y）現(xiàn)在變成了z軸，那么這樣子就變成了繞z軸旋轉(zhuǎn)的情況。
所以我們將繞x軸旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的操作記為A(45)，所以物體現(xiàn)在的坐標(biāo)為$R'=A(45)R$。
之后我們就可以將物體繞z軸右手方向旋轉(zhuǎn)30度了，操作記為B(30)，所以現(xiàn)在物體的坐標(biāo)為$R''=B(30)R'$。
但是此時(shí)我們的坐標(biāo)系還是以原z=y為z軸的坐標(biāo)系，我們需要把z'軸轉(zhuǎn)過來，變成最初的那個(gè)樣子，所以我們需要把坐標(biāo)系繞x軸旋轉(zhuǎn)-45度，這樣子z'就和z重合了，z=y也回到了原來的位置。
所以這一步操作記為A(-45)，物體現(xiàn)在的坐標(biāo)為R'''=A(-45)R''。
最后總的來說，這個(gè)物體從最初的狀態(tài)到最后的狀態(tài)相當(dāng)于進(jìn)行了三步操作，乘上了三個(gè)矩陣，即R'''=A(-45)B(30)A(45)R.
圍繞軸不經(jīng)過原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)-初級
上面的方法全部都要經(jīng)過原點(diǎn)，但如果我們想要圍著轉(zhuǎn)的對稱軸不經(jīng)過原點(diǎn)呢？這就要多加一個(gè)操作了，那就是給坐標(biāo)加上個(gè)某一個(gè)值，比如我有坐標(biāo)向量(x, y, z)，想要向x軸平移1單位，那么新的坐標(biāo)就變成了(x+1, y, z)，相當(dāng)于進(jìn)行了如下操作
(x', y', z') = (x, y, z) + (1, 0, 0)
所以我們這里定義一個(gè)新操作D(a,x)。其中a代表沿著位移方向的軸，方向只有三個(gè)，xyz。x代表的是唯一的距離，比如說上述操作就可以寫為D(x,1)，總的公式為R'=R+D(x,1)。
圍繞軸不經(jīng)過原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)-高級
我們現(xiàn)在要將一個(gè)物體R繞著z=y-1這條線為軸右手方向旋轉(zhuǎn)30度。其實(shí)步驟依舊和上面一模一樣，只不過將z=y-1轉(zhuǎn)到z軸上更為麻煩了而已，主要分為以下步驟。
首先將z=y-1平移到經(jīng)過原點(diǎn)，也就是將坐標(biāo)軸向y方向平移-1個(gè)單位，即操作D(y,1)，平移后的物體坐標(biāo)為R'=R+D(y,-1)。
然后就是之前舉的例子了，我們直接可以寫得(我用R2代替R''，以此類推)
R2=A(45)R'
R3=B(30)R2
R4=A(-45)R3
最后到了這里我們還得把z=y-1移到原來位置，也就是再加上一個(gè)D(y,1)操作，也就是
R5=R4+D(y,-1)
=A(-45)B(30)A(45)[R+D(y,-1)]+D(y,1)
這樣子，我們就可以實(shí)現(xiàn)任何操作
總結(jié)
可以看出，我們最終達(dá)到實(shí)現(xiàn)任何操作的步驟為三步
將我們想要旋轉(zhuǎn)的軸通過旋轉(zhuǎn)與平移操作將其與任一坐標(biāo)軸重合；
進(jìn)行我們想要繞著旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的操作；
將旋轉(zhuǎn)軸通過旋轉(zhuǎn)與平移操作移動(dòng)到原來的位置。
并且我們的基礎(chǔ)操作總共有4個(gè)，其中三個(gè)旋轉(zhuǎn)一個(gè)平移，分別為：
繞x軸右手方向旋轉(zhuǎn)t角度記為A(t);
繞y軸右手方向旋轉(zhuǎn)t角度記為B(t);
繞z軸右手方向旋轉(zhuǎn)t角度記為C(t);
沿某一軸(記為a軸)正方向平移x距離記為D(a, x)。
這樣子我們得到的坐標(biāo)就是我們實(shí)現(xiàn)了當(dāng)前操作的坐標(biāo)。
下一篇文章講利用編程實(shí)現(xiàn)這些操作。
