什么是熵(Entropy)
簡單來說，熵是表示物質(zhì)系統(tǒng)狀態(tài)的一種度量，用它老表征系統(tǒng)的無序程度。熵越大，系統(tǒng)越無序，意味著系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和運動的不確定和無規(guī)則；反之，，熵越小，系統(tǒng)越有序，意味著具有確定和有規(guī)則的運動狀態(tài)。熵的中文意思是熱量被溫度除的商。負熵是物質(zhì)系統(tǒng)有序化，組織化，復(fù)雜化狀態(tài)的一種度量。
熵最早來原于物理學(xué). 德國物理學(xué)家魯?shù)婪颉た藙谛匏故状翁岢鲮氐母拍?，用來表示任何一種能量在空間中分布的均勻程度，能量分布得越均勻，熵就越大。
一滴墨水滴在清水中，部成了一杯淡藍色溶液
熱水晾在空氣中，熱量會傳到空氣中，最后使得溫度一致
更多的一些生活中的例子:
熵力的一個例子是耳機線，我們將耳機線整理好放進口袋，下次再拿出來已經(jīng)亂了。讓耳機線亂掉的看不見的“力”就是熵力，耳機線喜歡變成更混亂。
熵力另一個具體的例子是彈性力。一根彈簧的力，就是熵力。 胡克定律其實也是一種熵力的表現(xiàn)。
萬有引力也是熵力的一種(熱烈討論的話題)。
渾水澄清[1]
于是從微觀看，熵就表現(xiàn)了這個系統(tǒng)所處狀態(tài)的不確定性程度。香農(nóng)，描述一個信息系統(tǒng)的時候就借用了熵的概念，這里熵表示的是這個信息系統(tǒng)的平均信息量(****平均不確定程度****)。
最大熵模型
我們在投資時常常講不要把所有的雞蛋放在一個籃子里，這樣可以降低風(fēng)險。在信息處理中，這個原理同樣適用。在數(shù)學(xué)上，這個原理稱為最大熵原理(the maximum entropy principle)。
讓我們看一個拼音轉(zhuǎn)漢字的簡單的例子。假如輸入的拼音是"wang-xiao-bo"，利用語言模型，根據(jù)有限的上下文(比如前兩個詞)，我們能給出兩個最常見的名字“王小波”和“王曉波 ”。至于要唯一確定是哪個名字就難了，即使利用較長的上下文也做不到。當(dāng)然，我們知道如果通篇文章是介紹文學(xué)的，作家王小波的可能性就較大；而在討論兩岸關(guān)系時，臺灣學(xué)者王曉波的可能性會較大。在上面的例子中，我們只需要綜合兩類不同的信息，即主題信息和上下文信息。雖然有不少湊合的辦法，比如：分成成千上萬種的不同的主題單獨處理，或者對每種信息的作用加權(quán)平均等等，但都不能準(zhǔn)確而圓滿地解決問題，這樣好比以前我們談到的行星運動模型中的小圓套大圓打補丁的方法。在很多應(yīng)用中，我們需要綜合幾十甚至上百種不同的信息，這種小圓套大圓的方法顯然行不通。
數(shù)學(xué)上最漂亮的辦法是最大熵(maximum entropy)模型，它相當(dāng)于行星運動的橢圓模型?！白畲箪亍边@個名詞聽起來很深奧，但是它的原理很簡單，我們每天都在用。說白了，就是要保留全部的不確定性，將風(fēng)險降到最小。
回到我們剛才談到的拼音轉(zhuǎn)漢字的例子，我們已知兩種信息，第一，根據(jù)語言模型，wangxiao-bo可以被轉(zhuǎn)換成王曉波和王小波；第二，根據(jù)主題，王小波是作家，《黃金時代》的作者等等，而王曉波是臺灣研究兩岸關(guān)系的學(xué)者。因此，我們就可以建立一個最大熵模型，同時滿足這兩種信息?，F(xiàn)在的問題是，這樣一個模型是否存在。匈牙利著名數(shù)學(xué)家、信息論最高獎香農(nóng)獎得主希薩（Csiszar）證明，對任何一組不自相矛盾的信息，這個最大熵模型不僅存在，而且是唯一的。而且它們都有同一個非常簡單的形式 -- 指數(shù)函數(shù)。下面公式是根據(jù)上下文（前兩個詞）和主題預(yù)測下一個詞的最大熵模型，其中 w3 是要預(yù)測的詞（王曉波或者王小波）w1 和 w2 是它的前兩個字（比如說它們分別是“出版”，和“”），也就是其上下文的一個大致估計，subject 表示主題。
我們看到，在上面的公式中，有幾個參數(shù) lambda 和 Z ，他們需要通過觀測數(shù)據(jù)訓(xùn)練出來。最大熵模型在形式上是最漂亮的統(tǒng)計模型，而在實現(xiàn)上是最復(fù)雜的模型之一。
我們上次談到用最大熵模型可以將各種信息綜合在一起。我們留下一個問題沒有回答，就是如何構(gòu)造最大熵模型。我們已經(jīng)所有的最大熵模型都是指數(shù)函數(shù)的形式，現(xiàn)在只需要確定指數(shù)函數(shù)的參數(shù)就可以了，這個過程稱為模型的訓(xùn)練。
最原始的最大熵模型的訓(xùn)練方法是一種稱為通用迭代算法 GIS(generalized iterative scaling) 的迭代 算法。GIS 的原理并不復(fù)雜，大致可以概括為以下幾個步驟：
- 假定第零次迭代的初始模型為等概率的均勻分布。
- 用第 N 次迭代的模型來估算每種信息特征在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的分布，如果超過了實際的，就把相應(yīng)的模型參數(shù)變??；否則，將它們便大。
- 重復(fù)步驟 2 直到收斂。
GIS 最早是由 Darroch 和 Ratcliff 在七十年代提出的。但是，這兩人沒有能對這種算法的物理含義進行很好地解釋。后來是由數(shù)學(xué)家希薩（Csiszar)解釋清楚的，因此，人們在談到這個算法時，總是同時引用 Darroch 和Ratcliff 以及希薩的兩篇論文。GIS 算法每次迭代的時間都很長，需要迭代很多次才能收斂，而且不太穩(wěn)定，即使在 64 位計算機上都會出現(xiàn)溢出。因此，在實際應(yīng)用中很少有人真正使用 GIS。大家只是通過它來了解最大熵模型的算法。 八十年代，很有天才的孿生兄弟的達拉皮垂(Della Pietra)在 IBM 對 GIS 算法進行了兩方面的改進，提出了改進迭代算法 IIS（improved iterative scaling）。這使得最大熵模型的訓(xùn)練時間縮短了一到兩個數(shù)量級。這樣最大熵模型才有可能變得實用。即使如此，在當(dāng)時也只有 IBM 有條件是用最大熵模型。
由于最大熵模型在數(shù)學(xué)上十分完美，對科學(xué)家們有很大的誘惑力，因此不少研究者試圖把自己的問題用一個類似最大熵的近似模型去套。誰知這一近似，最大熵模型就變得不完美了，結(jié)果可想而知，比打補丁的湊合的方法也好不了多少。于是，不少熱心人又放棄了這種方法。第一個在實際信息處理應(yīng)用中驗證了最大熵模型的優(yōu)勢的，是賓夕法尼亞大學(xué)馬庫斯的另一個高徒原 IBM 現(xiàn)微軟的研究員拉納帕提(Adwait Ratnaparkhi)。拉納帕提的聰明之處在于他沒有對最大熵模型進行近似，而是找到了幾個最適合用最大熵模型、而計算量相對不太大的自然語言處理問題，比如詞性標(biāo)注和句法分析。拉納帕提成功地將上下文信息、詞性（名詞、動詞和形容詞等）、句子成分（主謂賓）通過最大熵模型結(jié)合起來，做出了當(dāng)時世界上最好的詞性標(biāo)識系統(tǒng)和句法分析器。拉納帕提的論文發(fā)表后讓人們耳目一新。拉納帕提的詞性標(biāo)注系統(tǒng)，至今仍然是使用單一方法最好的系統(tǒng)?？茖W(xué)家們從拉納帕提的成就中，又看到了用最大熵模型解決復(fù)雜的文字信息處理的希望。
但是，最大熵模型的計算量仍然是個攔路虎。我在學(xué)校時花了很長時間考慮如何簡化最大熵模型的計算量。終于有一天，我對我的導(dǎo)師說，我發(fā)現(xiàn)一種數(shù)學(xué)變換，可以將大部分最大熵模型的訓(xùn)練時間在 IIS 的基礎(chǔ)上減少兩個數(shù)量級。我在黑板上推導(dǎo)了一個多小時，他沒有找出我的推導(dǎo)中的任何破綻，接著他又回去想了兩天，然后告訴我我的算法是對的。從此，我們就建造了一些很大的最大熵模型。這些模型比修修補補的湊合的方法好不少。即使在我找到了快速訓(xùn)練算法以后，為了訓(xùn)練一個包含上下文信息，主題信息和語法信息的文法模型(language model)，我并行使用了20 臺當(dāng)時最快的 SUN 工作站，仍然計算了三個月。由此可見最大熵模型的復(fù)雜的一面。
最大熵模型，可以說是集簡與繁于一體，形式簡單，實現(xiàn)復(fù)雜。值得一提的是，在Google的很多產(chǎn)品中，比如機器翻譯，都直接或間接地用到了最大熵模型。 講到這里，讀者也許會問，當(dāng)年最早改進最大熵模型算法的達拉皮垂兄弟這些年難道沒有做任何事嗎？他們在九十年代初賈里尼克離開 IBM 后，也退出了學(xué)術(shù)界，而到在金融界大顯身手。他們兩人和很多 IBM 語音識別的同事一同到了一家當(dāng)時還不大，但現(xiàn)在是世界上最成功對沖基金(hedge fund)公司----文藝復(fù)興技術(shù)公司 (Renaissance Technologies)。我們知道，決定股票漲落的因素可能有幾十甚至上百種，而最大熵方法恰恰能找到一個同時滿足成千上萬種不同條件的模型。達拉皮垂兄弟等科學(xué)家在那里，用于最大熵模型和其他一些先進的數(shù)學(xué)工具對股票預(yù)測，獲得了巨大的成功。從該基金 1988 年創(chuàng)立至今，它的凈回報率高達平均每年 34%。也就是說，如果 1988 年你在該基金投入一塊錢，今天你能得到 200 塊錢。這個業(yè)績，遠遠超過股神巴菲特的旗艦公司伯克夏哈撒韋（Berkshire Hathaway)。同期，伯克夏哈撒韋的總回報是 16 倍。 值得一提的是，信息處理的很多數(shù)學(xué)手段，包括隱含馬爾可夫模型、子波變換、貝葉斯網(wǎng)絡(luò)等等，在華爾街多有直接的應(yīng)用。由此可見，數(shù)學(xué)模型的作用。
HMM（隱馬爾可夫模型）
隱馬爾可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是統(tǒng)計模型，它用來描述一個含有隱含未知參數(shù)的馬爾可夫過程。其難點是從可觀察的參數(shù)中確定該過程的隱含參數(shù)。然后利用這些參數(shù)來作進一步的分析，例如模式識別。
是在被建模的系統(tǒng)被認為是一個馬爾可夫過程與未觀測到的（隱藏的）的狀態(tài)的統(tǒng)計馬爾可夫模型。
下面用一個簡單的例子來闡述：
假設(shè)我手里有三個不同的骰子。第一個骰子是我們平常見的骰子（稱這個骰子為D6），6個面，每個面（1，2，3，4，5，6）出現(xiàn)的概率是1/6。第二個骰子是個四面體（稱這個骰子為D4），每個面（1，2，3，4）出現(xiàn)的概率是1/4。第三個骰子有八個面（稱這個骰子為D8），每個面（1，2，3，4，5，6，7，8）出現(xiàn)的概率是1/8。
假設(shè)我們開始擲骰子，我們先從三個骰子里挑一個，挑到每一個骰子的概率都是1/3。然后我們擲骰子，得到一個數(shù)字，1，2，3，4，5，6，7，8中的一個。不停的重復(fù)上述過程，我們會得到一串?dāng)?shù)字，每個數(shù)字都是1，2，3，4，5，6，7，8中的一個。例如我們可能得到這么一串?dāng)?shù)字（擲骰子10次）：1 6 3 5 2 7 3 5 2 4
這串?dāng)?shù)字叫做可見狀態(tài)鏈。但是在隱馬爾可夫模型中，我們不僅僅有這么一串可見狀態(tài)鏈，還有一串隱含狀態(tài)鏈。在這個例子里，這串隱含狀態(tài)鏈就是你用的骰子的序列。比如，隱含狀態(tài)鏈有可能是：D6 D8 D8 D6 D4 D8 D6 D6 D4 D8
一般來說，HMM中說到的馬爾可夫鏈其實是指隱含狀態(tài)鏈，因為隱含狀態(tài)（骰子）之間存在轉(zhuǎn)換概率（transition probability）。在我們這個例子里，D6的下一個狀態(tài)是D4，D6，D8的概率都是1/3。D4，D8的下一個狀態(tài)是D4，D6，D8的轉(zhuǎn)換概率也都一樣是1/3。這樣設(shè)定是為了最開始容易說清楚，但是我們其實是可以隨意設(shè)定轉(zhuǎn)換概率的。比如，我們可以這樣定義，D6后面不能接D4，D6后面是D6的概率是0.9，是D8的概率是0.1。這樣就是一個新的HMM。
同樣的，盡管可見狀態(tài)之間沒有轉(zhuǎn)換概率，但是隱含狀態(tài)和可見狀態(tài)之間有一個概率叫做輸出概率（emission probability）。就我們的例子來說，六面骰（D6）產(chǎn)生1的輸出概率是1/6。產(chǎn)生2，3，4，5，6的概率也都是1/6。我們同樣可以對輸出概率進行其他定義。比如，我有一個被賭場動過手腳的六面骰子，擲出來是1的概率更大，是1/2，擲出來是2，3，4，5，6的概率是1/10。
其實對于HMM來說，如果提前知道所有隱含狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換概率和所有隱含狀態(tài)到所有可見狀態(tài)之間的輸出概率，做模擬是相當(dāng)容易的。但是應(yīng)用HMM模型時候呢，往往是缺失了一部分信息的，有時候你知道骰子有幾種，每種骰子是什么，但是不知道擲出來的骰子序列；有時候你只是看到了很多次擲骰子的結(jié)果，剩下的什么都不知道。如果應(yīng)用算法去估計這些缺失的信息，就成了一個很重要的問題。這些算法我會在下面詳細講。
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××× 如果你只想看一個簡單易懂的例子，就不需要往下看了。×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
說兩句廢話，答主認為呢，要了解一個算法，要做到以下兩點：會其意，知其形。答主回答的，其實主要是第一點。但是這一點呢，恰恰是最重要，而且很多書上不會講的。正如你在追一個姑娘，姑娘對你說“你什么都沒做錯！”你要是只看姑娘的表達形式呢，認為自己什么都沒做錯，顯然就理解錯了。你要理會姑娘的意思，“你趕緊給我道歉！”這樣當(dāng)你看到對應(yīng)的表達形式呢，趕緊認錯，跪地求饒就對了。數(shù)學(xué)也是一樣，你要是不理解意思，光看公式，往往一頭霧水。不過呢，數(shù)學(xué)的表達頂多也就是晦澀了點，姑娘的表達呢，有的時候就完全和本意相反。所以答主一直認為理解姑娘比理解數(shù)學(xué)難多了。
回到正題，和HMM模型相關(guān)的算法主要分為三類，分別解決三種問題：
** 1）知道骰子有幾種（隱含狀態(tài)數(shù)量），每種骰子是什么（轉(zhuǎn)換概率），根據(jù)擲骰子擲出的結(jié)果（可見狀態(tài)鏈），我想知道每次擲出來的都是哪種骰子（隱含狀態(tài)鏈）。**
這個問題呢，在語音識別領(lǐng)域呢，叫做解碼問題。這個問題其實有兩種解法，會給出兩個不同的答案。每個答案都對，只不過這些答案的意義不一樣。第一種解法求最大似然狀態(tài)路徑，說通俗點呢，就是我求一串骰子序列，這串骰子序列產(chǎn)生觀測結(jié)果的概率最大。第二種解法呢，就不是求一組骰子序列了，而是求每次擲出的骰子分別是某種骰子的概率。比如說我看到結(jié)果后，我可以求得第一次擲骰子是D4的概率是0.5，D6的概率是0.3，D8的概率是0.2.第一種解法我會在下面說到，但是第二種解法我就不寫在這里了，如果大家有興趣，我們另開一個問題繼續(xù)寫吧。
2）還是知道骰子有幾種（隱含狀態(tài)數(shù)量），每種骰子是什么（轉(zhuǎn)換概率），根據(jù)擲骰子擲出的結(jié)果（可見狀態(tài)鏈），我想知道擲出這個結(jié)果的概率。
看似這個問題意義不大，因為你擲出來的結(jié)果很多時候都對應(yīng)了一個比較大的概率。問這個問題的目的呢，其實是檢測觀察到的結(jié)果和已知的模型是否吻合。如果很多次結(jié)果都對應(yīng)了比較小的概率，那么就說明我們已知的模型很有可能是錯的，有人偷偷把我們的骰子給換了。
3）知道骰子有幾種（隱含狀態(tài)數(shù)量），不知道每種骰子是什么（轉(zhuǎn)換概率），觀測到很多次擲骰子的結(jié)果（可見狀態(tài)鏈），我想反推出每種骰子是什么（轉(zhuǎn)換概率）。
這個問題很重要，因為這是最常見的情況。很多時候我們只有可見結(jié)果，不知道HMM模型里的參數(shù)，我們需要從可見結(jié)果估計出這些參數(shù)，這是建模的一個必要步驟。
問題闡述完了，下面就開始說解法。（0號問題在上面沒有提，只是作為解決上述問題的一個輔助）
0.一個簡單問題
其實這個問題實用價值不高。由于對下面較難的問題有幫助，所以先在這里提一下。 知道骰子有幾種，每種骰子是什么，每次擲的都是什么骰子，根據(jù)擲骰子擲出的結(jié)果，求產(chǎn)生這個結(jié)果的概率。
解法無非就是概率相乘：
1.看見不可見的，破解骰子序列 這里我說的是第一種解法，解最大似然路徑問題。 舉例來說，我知道我有三個骰子，六面骰，四面骰，八面骰。我也知道我擲了十次的結(jié)果（1 6 3 5 2 7 3 5 2 4），我不知道每次用了那種骰子，我想知道最有可能的骰子序列。
其實最簡單而暴力的方法就是窮舉所有可能的骰子序列，然后依照第零個問題的解法把每個序列對應(yīng)的概率算出來。然后我們從里面把對應(yīng)最大概率的序列挑出來就行了。如果馬爾可夫鏈不長，當(dāng)然可行。如果長的話，窮舉的數(shù)量太大，就很難完成了。 另外一種很有名的算法叫做Viterbi algorithm. 要理解這個算法，我們先看幾個簡單的列子。 首先，如果我們只擲一次骰子：
看到結(jié)果為1.對應(yīng)的最大概率骰子序列就是D4，因為D4產(chǎn)生1的概率是1/4，高于1/6和1/8. 把這個情況拓展，我們擲兩次骰子：
結(jié)果為1，6.這時問題變得復(fù)雜起來，我們要計算三個值，分別是第二個骰子是D6，D4，D8的最大概率。顯然，要取到最大概率，第一個骰子必須為D4。這時，第二個骰子取到D6的最大概率是
同樣，我們計算第三個骰子分別是D6，D4，D8的最大概率。我們再次發(fā)現(xiàn)，要取到最大概率，第二個骰子必須為D6。這時，第三個骰子取到D4的最大概率是
寫到這里，大家應(yīng)該看出點規(guī)律了。既然擲骰子一二三次可以算，擲多少次都可以以此類推。我們發(fā)現(xiàn)，我們要求最大概率骰子序列時要做這么幾件事情。首先，不管序列多長，要從序列長度為1算起，算序列長度為1時取到每個骰子的最大概率。然后，逐漸增加長度，每增加一次長度，重新算一遍在這個長度下最后一個位置取到每個骰子的最大概率。因為上一個長度下的取到每個骰子的最大概率都算過了，重新計算的話其實不難。當(dāng)我們算到最后一位時，就知道最后一位是哪個骰子的概率最大了。然后，我們要把對應(yīng)這個最大概率的序列從后往前推出來。
2.誰動了我的骰子？ 比如說你懷疑自己的六面骰被賭場動過手腳了，有可能被換成另一種六面骰，這種六面骰擲出來是1的概率更大，是1/2，擲出來是2，3，4，5，6的概率是1/10。你怎么辦么？答案很簡單，算一算正常的三個骰子擲出一段序列的概率，再算一算不正常的六面骰和另外兩個正常骰子擲出這段序列的概率。如果前者比后者小，你就要小心了。 比如說擲骰子的結(jié)果是：
要算用正常的三個骰子擲出這個結(jié)果的概率，其實就是將所有可能情況的概率進行加和計算。同樣，簡單而暴力的方法就是把窮舉所有的骰子序列，還是計算每個骰子序列對應(yīng)的概率，但是這回，我們不挑最大值了，而是把所有算出來的概率相加，得到的總概率就是我們要求的結(jié)果。這個方法依然不能應(yīng)用于太長的骰子序列（馬爾可夫鏈）。 我們會應(yīng)用一個和前一個問題類似的解法，只不過前一個問題關(guān)心的是概率最大值，這個問題關(guān)心的是概率之和。解決這個問題的算法叫做前向算法（forward algorithm）。 首先，如果我們只擲一次骰子：
看到結(jié)果為1.產(chǎn)生這個結(jié)果的總概率可以按照如下計算，總概率為0.18：
把這個情況拓展，我們擲兩次骰子：
看到結(jié)果為1，6.產(chǎn)生這個結(jié)果的總概率可以按照如下計算，總概率為0.05：
繼續(xù)拓展，我們擲三次骰子：
看到結(jié)果為1，6，3.產(chǎn)生這個結(jié)果的總概率可以按照如下計算，總概率為0.03：
同樣的，我們一步一步的算，有多長算多長，再長的馬爾可夫鏈總能算出來的。用同樣的方法，也可以算出不正常的六面骰和另外兩個正常骰子擲出這段序列的概率，然后我們比較一下這兩個概率大小，就能知道你的骰子是不是被人換了。
Viterbi algorithm
HMM（隱馬爾可夫模型）是用來描述隱含未知參數(shù)的統(tǒng)計模型，舉一個經(jīng)典的例子：一個東京的朋友每天根據(jù)天氣{下雨，天晴}決定當(dāng)天的活動{公園散步,購物,清理房間}中的一種，我每天只能在twitter上看到她發(fā)的推“啊，我前天公園散步、昨天購物、今天清理房間了！”，那么我可以根據(jù)她發(fā)的推特推斷東京這三天的天氣。在這個例子里，顯狀態(tài)是活動，隱狀態(tài)是天氣。
任何一個HMM都可以通過下列五元組來描述：
:param obs:觀測序列
:param states:隱狀態(tài)
:param start_p:初始概率（隱狀態(tài)）
:param trans_p:轉(zhuǎn)移概率（隱狀態(tài)）
:param emit_p: 發(fā)射概率 （隱狀態(tài)表現(xiàn)為顯狀態(tài)的概率）
偽碼如下：
states = ('Rainy', 'Sunny')
observations = ('walk', 'shop', 'clean')
start_probability = {'Rainy': 0.6, 'Sunny': 0.4}
transition_probability = {
'Rainy' : {'Rainy': 0.7, 'Sunny': 0.3},
'Sunny' : {'Rainy': 0.4, 'Sunny': 0.6},
}
emission_probability = {
'Rainy' : {'walk': 0.1, 'shop': 0.4, 'clean': 0.5},
'Sunny' : {'walk': 0.6, 'shop': 0.3, 'clean': 0.1},
}
求解最可能的天氣
求解最可能的隱狀態(tài)序列是HMM的三個典型問題之一，通常用維特比算法解決。維特比算法就是求解HMM上的最短路徑（-log(prob)，也即是最大概率）的算法。
稍微用中文講講思路，很明顯，第一天天晴還是下雨可以算出來：
定義V[時間][今天天氣] = 概率，注意今天天氣指的是，前幾天的天氣都確定下來了（概率最大）今天天氣是X的概率，這里的概率就是一個累乘的概率了。
因為第一天我的朋友去散步了，所以第一天下雨的概率V[第一天][下雨] = 初始概率[下雨] * 發(fā)射概率[下雨][散步] = 0.6 * 0.1 = 0.06，同理可得V[第一天][天晴] = 0.24 。從直覺上來看，因為第一天朋友出門了，她一般喜歡在天晴的時候散步，所以第一天天晴的概率比較大，數(shù)字與直覺統(tǒng)一了。
從第二天開始，對于每種天氣Y，都有前一天天氣是X的概率 * X轉(zhuǎn)移到Y(jié)的概率 * Y天氣下朋友進行這天這種活動的概率。因為前一天天氣X有兩種可能，所以Y的概率有兩個，選取其分別解決三種問題中較大一個作為V[第二天][天氣Y]的概率，同時將今天的天氣加入到結(jié)果序列中
比較V[最后一天][下雨]和[最后一天][天晴]的概率，找出較大的哪一個對應(yīng)的序列，就是最終結(jié)果。
算法的代碼可以在github上看到，地址為：
https://github.com/hankcs/Viterbi
運行完成后根據(jù)Viterbi得到結(jié)果：
Sunny Rainy Rainy
Viterbi被廣泛應(yīng)用到分詞，詞性標(biāo)注等應(yīng)用場景。
轉(zhuǎn)自一文搞懂HMM（隱馬爾可夫模型）
