地標(biāo)性高考物理題詳解~力電綜合：2017年全國(guó)卷B題17

2017年全國(guó)卷B題25：力電綜合

25.（20分）如圖，兩水平面（虛線）之間的距離為 H，其間的區(qū)域存在方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)。自該區(qū)域上方的 A 點(diǎn)將質(zhì)量均為 m、電荷量分別為 q 和 -q(q \gt 0) 的帶電小球 M、N 先后以相同的初速度沿平行于電場(chǎng)的方向射出。小球在重力作用下進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域，并從該區(qū)域的下邊界離開(kāi)。已知 N 離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度方向豎直向下；M 在電場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)，剛離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能為 N 剛離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)動(dòng)能的 1.5 倍。不計(jì)空氣阻力，重力加速度大小為 g。求

2017年全國(guó)卷B題17

（1）M 與 N 在電場(chǎng)中沿水平方向的位移之比;

（2）A 點(diǎn)距電場(chǎng)上邊界的高度;

（3）該電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小。

兩小球所受電場(chǎng)力方向相反大小相等

【解析】

第1問(wèn)較為簡(jiǎn)單。如上圖所示，在電場(chǎng)中，兩小球同時(shí)受重力和電場(chǎng)力作用。由于電量一正一負(fù)，兩小球在水平方向所受電場(chǎng)力大小相等，方向相反。所以，兩小球的加速度方向相反，大小相等。

已知 N 離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度方向豎直向下，意味著水平方向速度分量為0，所以 M 的水平方向速度為 2v_0. 從 v-t 圖上可以直觀地看出：兩球的水平位移比為 1:3

小球 M 的v-t 圖

再看第2問(wèn)。我們牢牢地抓住這句話：M 在電場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)。由此可以得出結(jié)論：

\dfrac{v_{y1}}{v_{x1}}=\dfrac{v_{y2}}{v_{x2}}

由前面的分析可知：M 離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的水平速度分量是進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的2倍。豎直方向的速度分量之比和水平分量之比應(yīng)相等：

v_{x2}=2 v_{x1} \Rightarrow \; v_{y2}=2 v_{y1}

在豎直方向，兩小球僅受重力作用，a_y=g, v_y=gt

v_{y2}=2 v_{y1} \Rightarrow\; t_2=2t_1

上式中，t_1 和 t_2 分別表示小球進(jìn)入電場(chǎng)和離開(kāi)電場(chǎng)的時(shí)刻。上式表明：小球在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與進(jìn)入電場(chǎng)前的下落時(shí)間正好是相等的。

在豎直方向的位移公式為：s_y=\dfrac{1}{2} g t^2

t_2=2t_1 \Rightarrow\; t^2_2=4t^2_1 \Rightarrow\; s_{y2}=4s_{y1}

記 A 點(diǎn)距電場(chǎng)上邊界的高度為 h, 則：

h+H = 4h \Rightarrow\; h=\dfrac{1}{3}H

兩小球的末速度

再來(lái)看第3問(wèn)。

兩小球離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度如上圖所示，小球 N 的水平分量為0，小球 M 的水平分量為 2v_0.

因?yàn)閯傠x開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能為 N 剛離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)動(dòng)能的 1.5 倍，所以：

(2v_0)^2 + v^2_{y2} = 1.5 \, v^2_{y2}

∴ v^2_{y2} = 8 v^2_0

∴ v_{y2} = 2 \sqrt{2} v_0

小球 M 穿過(guò)電場(chǎng)期間， \Delta v_x = v_0;\; \Delta v_y = \dfrac{1}{2}v_{y2}=\sqrt{2}v_0

∴ \dfrac{a_y}{a_x}=\dfrac{\Delta v_y}{\Delta v_x}=\sqrt{2}

∴ a_x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} a_y = \dfrac{\sqrt{2}}{2} g

∴ qE = \dfrac{\sqrt{2}}{2} mg

電場(chǎng)強(qiáng)度 E = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\dfrac{mg}{q})

【提煉與提高】

v-t 圖是高中物理的一大神器，結(jié)合幾何化方法，可以提高解決問(wèn)題的效率。本題是又一典型實(shí)例。

矢量分析方法在本題中也發(fā)揮了重要作用。位移、速度、加速度都是矢量。

如果質(zhì)點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動(dòng)，那么，它的速度、加速度、在一段時(shí)間內(nèi)的速度變化是一組平分的矢量。用公式表達(dá)如下：

\dfrac{v_{y1}}{v_{x1}} = \dfrac{v_{y2}}{v_{x2}} = \dfrac{ \Delta v_{y}}{ \Delta v_{x}} = \dfrac{a_y}{a_x}

運(yùn)動(dòng)學(xué)公式是解決力電綜合大題的基礎(chǔ)。本題中用到了以下公式：

\boxed{ s = \dfrac{1}{2} (v_1 + v_2) t } （勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移）

\boxed{ v_y = gt} （自由落體的速度）

\boxed{s_y = \dfrac{1}{2}gt^2} （自由落體的位移）

\boxed{E_k = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}m (v^2_x + v^2_y) } （動(dòng)能的定義）

\boxed{F=qE} （電場(chǎng)力與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系）

【回歸教材】

『密立根實(shí)驗(yàn)』將電場(chǎng)力與重力關(guān)聯(lián)起來(lái)。在重力與電場(chǎng)力平衡的情況下，有以下公式：

\boxed{qE=mg}

可以根據(jù)質(zhì)量和電場(chǎng)強(qiáng)度求出電量；也可以根據(jù)質(zhì)量和電量求出電場(chǎng)強(qiáng)度。

在本題中，質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受水平方向的電場(chǎng)力和豎直方向的重力作用，所以：

\boxed{\dfrac{qE}{mg} =\dfrac{ma_x}{mg}=\dfrac{a_x}{a_y}=\dfrac{\Delta v_x}{\Delta v_y} }

根據(jù)速度差的比值可以求出電場(chǎng)力與重力的比值，從而求出電場(chǎng)強(qiáng)度。

關(guān)于『帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)』，可參考：《新概念高中物理讀本》第二冊(cè)第一章第5節(jié)（第31頁(yè)）。

【相關(guān)真題】

力電綜合是高考物理中的常見(jiàn)題型，參見(jiàn)以下“姊妹題”：

2014年全國(guó)卷A題25

此外，運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的用法，可以參考以下基礎(chǔ)性考題：

2011年全國(guó)卷題24

2014年海南卷題13

安全距離-2014年全國(guó)卷A題24

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