參考課程P4：
https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=4
注：關(guān)于這部分知識(shí)，可以參考馮樂(lè)樂(lè) Unity Shader入門精要的4.6節(jié)，會(huì)有實(shí)例講述MVP的全過(guò)程，我也會(huì)在后續(xù)筆記中做記錄。
我們可以這樣來(lái)描述視圖變換的任務(wù)：將虛擬世界中以（x,y,z)為坐標(biāo)的物體變換到 以一個(gè)個(gè)像素位置(x,y) 來(lái)表示的屏幕坐標(biāo)系之中(2維)，這確實(shí)是一個(gè)較為復(fù)雜的過(guò)程，但是整個(gè)過(guò)程可以被細(xì)分為如下幾個(gè)步驟：
- 模型變換(modeling tranformation)：這一步的目的是將虛擬世界中或者更具體點(diǎn)，游戲場(chǎng)景中的物體調(diào)整至他們應(yīng)該在的位置
- 攝像機(jī)變換(view/camera tranformation)：在游戲中我們真正在乎的是攝像機(jī)(或者說(shuō)眼睛)所看到的東西，也就是需要得到物體與攝像機(jī)的相對(duì)位置
- 投影變換(projection tranformation)：根據(jù)攝像機(jī)變換得到了所有可視范圍內(nèi)的物體對(duì)于攝像機(jī)的相對(duì)位置坐標(biāo)(x,y,z)之后，便是根據(jù)是平行投影還是透視投影，將三維空間投影至標(biāo)準(zhǔn)二維平面([-1,1]^2)之上 （tips：這里的z并沒(méi)有丟掉，為了之后的遮擋關(guān)系檢測(cè)）
- 視口變換(viewport transformation)：將處于標(biāo)準(zhǔn)平面映射到屏幕分辨率范圍之內(nèi)，即[-1,1]^2 ->[0,width]*[0,height], 其中width和height指屏幕分辨率大小
M在前面的坐標(biāo)變換中已經(jīng)說(shuō)了，現(xiàn)在重點(diǎn)看view/camera tranformation。
一、view/camera tranformation
1.相機(jī)的定義
- 相機(jī)的位置 e
- 相機(jī)看向的方向 g
- 相機(jī)向上的方向 t
2.相機(jī)位置
上面的截圖說(shuō)的是，考慮到運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，如果相機(jī)和物體一起移動(dòng)，那么拍出來(lái)的照片是相同的。沿著這種思路，把相機(jī)放在世界坐標(biāo)的原點(diǎn)，并讓坐標(biāo)軸與世界空間重合，然后再讓物體移動(dòng)，就能達(dá)到同樣的效果。
這里也介紹一下正常的思路，根據(jù)基變換的思路。要得到世界坐標(biāo)的物體在相機(jī)空間的坐標(biāo)，可以把世界坐標(biāo)的基轉(zhuǎn)換到相機(jī)空間。以Unity舉例，我們更容易獲得的是攝像機(jī)在世界空間中的坐標(biāo)，所以需要對(duì)這個(gè)變換進(jìn)行求逆，才能得到我們的目標(biāo)矩陣。
這兩種思路，最終選擇的是把相機(jī)移到原點(diǎn)的思路。視頻中說(shuō)到這樣做的好處：會(huì)讓操作得到簡(jiǎn)化
3.移動(dòng)相機(jī)的具體步驟
因?yàn)橄鄼C(jī)到達(dá)目前的位置，是先進(jìn)行了縮放、旋轉(zhuǎn)，再平移?，F(xiàn)在為了恢復(fù)到原點(diǎn)，就是逆過(guò)來(lái)操作，需要先做逆平移，再做逆旋轉(zhuǎn)。如下圖：
相機(jī)旋轉(zhuǎn)到世界坐標(biāo)軸的矩陣是很難寫的，但是反過(guò)來(lái)世界坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)到相機(jī)當(dāng)前的基坐標(biāo)卻很簡(jiǎn)單，即從x旋轉(zhuǎn)到g叉乘t(也就是e),y旋轉(zhuǎn)到t,z旋轉(zhuǎn)到-g非常簡(jiǎn)單，如圖：
然后再去求這個(gè)變換的逆，就是我們想要的目標(biāo)了。而旋轉(zhuǎn)矩陣是一個(gè)正交矩陣，直接轉(zhuǎn)置即可得到最終答案：
上面的公式只是講述了原理，具體例可以參考馮樂(lè)樂(lè) Unity Shader入門精要的4.6節(jié)。
二、projection
1.正交投影 orthographic
把左側(cè)的立方體，映射到中心的標(biāo)準(zhǔn)立方體。這樣做是為了什么呢？大佬沒(méi)有講，有彈幕說(shuō)是為了裁剪。
其中，l,r,b,t,f,n對(duì)應(yīng)的是left,right,bottom,top,far,near。因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在右手坐標(biāo)系，相機(jī)是向-Z方向看，所以離我們遠(yuǎn)的物體，它的Z值是更小的。這樣就有點(diǎn)反直覺(jué)，因?yàn)楦杏X(jué)上，值越大，應(yīng)該是離得越遠(yuǎn)。如果是左手坐標(biāo)系，就不會(huì)有這個(gè)問(wèn)題。
操作步驟很簡(jiǎn)單，先平移，再縮放：
平移的數(shù)值是在求中點(diǎn)，正負(fù)號(hào)可以忽略，圖中這個(gè)位置才是負(fù)的。然后縮放是因?yàn)橐诺揭粋€(gè)-1到1，即長(zhǎng)度為2的正方體里，縮放倍數(shù)就是r-l/(2/r-l)=2
有人提問(wèn)，這樣處理之后，正方體就被拉伸了呀，答案是所有物體放到-1,1的立方體后，后續(xù)還會(huì)做視口變換。
2.透視投影 prerspective
把那個(gè)遠(yuǎn)平面擠壓成和近平面一樣大，再做一個(gè)正交投影就達(dá)到目的了。擠的要求：
- 近平面不變
- 遠(yuǎn)平面在收縮時(shí)，Z軸的值不能變，即f值不能變
- 遠(yuǎn)平面的中心點(diǎn)不能變
為了做這個(gè)擠壓操作，可以切開(kāi)來(lái)看：
這里利用相似三角形即可，然后齊次坐標(biāo)，是可以同時(shí)擴(kuò)大z倍的，就得到如下結(jié)果：
這里z為什么是unknown呢，彈幕里有人表示，兩個(gè)平面的z確實(shí)沒(méi)變，但中間的那些點(diǎn)都是不一樣的。
現(xiàn)在已經(jīng)能得到這個(gè)矩陣的一部分?jǐn)?shù)值了。剩下的事情就是算出問(wèn)號(hào)部分的。現(xiàn)在已知：
近平面的Z是不變的，即x,y,n,1。這里利用齊次坐標(biāo)的性質(zhì)變成這樣：
現(xiàn)在思路一下，什么樣的矩陣左乘x,y,n,1。能在第三行出現(xiàn)一個(gè)n^2呢，那必然是一個(gè)前兩個(gè)格子都是0的矩陣，這樣才能把x,y都消掉：
這里可能不好理解，為什么要構(gòu)造一個(gè)n^2，其實(shí)是類似高中時(shí)那種特殊值求函數(shù)的思路，也可以叫特殊系數(shù)法。
現(xiàn)在還一個(gè)條件，即遠(yuǎn)平面的中心點(diǎn)0,0,f,1映射完之后還是0,0,f,1。這里利用齊次坐標(biāo)的性質(zhì)變成這樣：
所以根據(jù)遠(yuǎn)平面就可以得到Af+B=f^2
然后結(jié)合上面根據(jù)近平面得到的結(jié)論：
兩個(gè)式子聯(lián)合：
現(xiàn)在可以完成最后一步了：
