AHP層次分析法

AHP層次分析法是一種層次權(quán)重決策分析法，解決多目標(biāo)復(fù)雜問題的定性和定量的決策分析方法，用決策者的的經(jīng)驗(yàn)判定各個(gè)衡量目標(biāo)之間相對(duì)的重要程度，給出每個(gè)決策方案的權(quán)重，確定優(yōu)先次序。

1、基本原理

消費(fèi)者對(duì)包包的偏好

image.png

這是最簡(jiǎn)單的層次分析。

2、解決思路

我們的基本思路是將所要分析的問題層次化，把影響目標(biāo)的因素分解成不同的因素，按照因素的關(guān)聯(lián)關(guān)系和隸屬關(guān)系形成不同的組合，這樣就形成了一個(gè)多層次分析模型，并對(duì)比優(yōu)劣。

3、層次分析模型的步驟

• 1、創(chuàng)建層次目標(biāo)
• 2、設(shè)置分析法的標(biāo)準(zhǔn)（考慮的因素）
• 3、設(shè)置分析法的子標(biāo)準(zhǔn)（考慮因素的子因素，可加可不加）
• 4、設(shè)置方案層
• 5、逐層矩陣計(jì)算，驗(yàn)證歸一性
• 6、最終得出權(quán)重占比

層次分析法所要解決的問題是關(guān)于最低層對(duì)最高層的相對(duì)權(quán)重的問題，按此相對(duì)權(quán)重可以對(duì)最低層中的各種方案、措施進(jìn)行排序，從而在不同的方案中做出選擇或形成選擇方案的原則.

構(gòu)建判斷矩陣：

我們?cè)跇?gòu)建矩陣的時(shí)候必須保持一致性，我們將因素兩兩比較的。

矩陣aij的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，下面是9分標(biāo)準(zhǔn)，也可以設(shè)置5分標(biāo)準(zhǔn)、7分標(biāo)準(zhǔn)

注意：
我們?cè)谠O(shè)置aij的評(píng)分的同時(shí)，aji的評(píng)分是aij評(píng)分的倒數(shù)，假如a12的評(píng)分是2，那個(gè)a21的評(píng)分是1/2

一致性驗(yàn)證：

我們得出求出矩陣的特征向量W和特征值λ之后，我們需要判斷矩陣是否一致性標(biāo)準(zhǔn)。

定義一致性指標(biāo) CI=λ?n/n-1；
CI越接近0，表示一致性越好，越大表示一致性月差。
為了衡量CI的發(fā)小，我們引入隨機(jī)一直項(xiàng)指標(biāo)RI

定義一致性比率CR= CI/RI,當(dāng)CR<0.1的時(shí)候我們就認(rèn)為滿足一致性校驗(yàn)，否則我們就需要重新對(duì)比矩陣，對(duì)其中的評(píng)分重新調(diào)整.

實(shí)例：

我們構(gòu)建準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的矩陣：

準(zhǔn)則矩陣.png

計(jì)算特征向量的過程（計(jì)算權(quán)重占比的過程）：
1、列向求和

列向求和.png

image.png

得到列向歸一化矩陣：

列向歸一化矩陣.png

行求和

image.png

AW.png

得出AW的值便可以得出λ，此時(shí)λ,存在3個(gè)值，我們?nèi)テ渌銛?shù)平均數(shù)
λ=（0.3692/0.1226+0.9684/0.3202+1.6879/0.5571）/3 = 3.0219
CI = λ-n/n-1= 0.01095
CR = CI/RI = 0.0189 < 0.1 所以符合一致性
通過上面的層次分析，我們得出評(píng)價(jià)是最重要的因素，影響消費(fèi)者對(duì)包包的購(gòu)買。

層次總排序以及一次性檢驗(yàn)

• 計(jì)算某一層次對(duì)總目標(biāo)相當(dāng)于重要性的權(quán)值，稱為層次總排序
• 這一過程是從最高層次到最低層次依次進(jìn)行。

image.png

A層m個(gè)因素A1,A2,???,Am, ,對(duì)總目標(biāo)Z的排序?yàn)閍1,a2,???,am
B層n個(gè)因素對(duì)上層A中因素為Aj的層次單排序?yàn)閎1j,b2j,???,bnj(j=1,2,3,???,m)

層次總排序的一致性比例
CR=(a1CI1+a2CI2+...+amCIm)/(a1RI1+a2RI2+...+amRIm),當(dāng)CR<0.1的時(shí)候，我們認(rèn)為層次總排序一致。

例子：
我們?cè)谏厦孢x擇包包的時(shí)候，我們第二層準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量W1=W=(0.1226，0.3202，0.5571)T，同樣我們要求第三層對(duì)第二層每一個(gè)元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量。

我們可以計(jì)算出

Bλ1= 3.0536      Bλ2 =3.0385      Bλ3 = 3.0037
BW1 = (0.7089,0.1786,0.1125)T
BW2 = (0.6370,0.2583,0.1047)T
BW3 = (0.5816,0.3090,0.1095)T

組合權(quán)向量

我們得到最終的矩陣權(quán)值：

RI = 0.58 ，我們可以驗(yàn)證CI<0.1,符合一致性檢驗(yàn)

方案層對(duì)目標(biāo)組合最終的權(quán)值向量是:(0.6149,0.2767,0.1083)T
所以我們可以得到LV包包是用戶更關(guān)心的商品。

最終結(jié)果，我們將5-10人的評(píng)分結(jié)果都求取取來，然后去除最高和最低值，求每個(gè)解決方案的算數(shù)平均數(shù)，我們可以得到最終的解決方案。

我們?cè)跇?biāo)準(zhǔn)層的下方，繼續(xù)寫子標(biāo)準(zhǔn)，例如顏色分成紅、黑、橙3中，我們求取去特征向量W，之后就能求出每個(gè)顏色是消費(fèi)者最喜歡的，方法類似上面的流程。

python 代碼：

# coding=UTF-8
import numpy as np
'''
@Description:求解矩陣的權(quán)向量
@para:成對(duì)比較矩陣
@return:權(quán)向量
'''
def abhWeightVector(Mat):
    sizeMat = Mat.shape[0]
    #print(Mat)
    #print(sizeMat)

    # 計(jì)算矩陣A的特征值，特征向量
    eigenvalueMat, eigenvectorMat = np.linalg.eig(Mat)
    #print("特征值：", eigenvalueMat)
    #print("特征向量：", eigenvectorMat)
    
    # 將所有特征值取絕對(duì)值
    absEigenvalueMat = map(abs, eigenvalueMat)
    absEigenvalueMat = list(absEigenvalueMat)  
    #print(absEigenvalueMat)
    
    # 絕對(duì)值最大的特征值
    maxEigenvalueMat = max(absEigenvalueMat)
    #print("絕對(duì)值最大的特征值：", maxEigenvalueMat)
    
    # 絕對(duì)值最大的特征值的索引
    maxEigenvalueIndexMat = absEigenvalueMat.index(maxEigenvalueMat)
    #print(maxEigenvalueIndexMat)
    
    # 絕對(duì)值最大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量
    maxEigenvectorMat = eigenvectorMat[:, maxEigenvalueIndexMat]
    #print("絕對(duì)值最大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量：", maxEigenvectorMat)
    
    # 將上述特征向量標(biāo)準(zhǔn)化，即權(quán)向量   
    standardizeVectorMat = list(map(abs, maxEigenvectorMat)) / sum(list(map(abs, maxEigenvectorMat)))
    #print(standardizeVectorMat)
    
    # 計(jì)算不一致程度CI
    CI = (maxEigenvalueMat - sizeMat) / (sizeMat - 1)
    #print(CI)
    
    # 平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI
    listRI = [0, 0, 0.58, 0.90, 1.12, 1.24, 1.32, 1.41, 1.45]
    
    #計(jì)算隨機(jī)一致性比率
    CR = CI / listRI[sizeMat - 1]
    #print(CR)
    
    return standardizeVectorMat
   

MatA = np.array([[1, 2, 7, 5 ,5],
                 [1/2, 1, 4, 3, 3],
                 [1/7, 1/4, 1, 1/2, 1/2],
                 [1/5, 1/3, 2, 1, 1],
                 [1/5, 1/3, 3, 1, 1]])
standardizeVectorMatA = abhWeightVector(MatA)
print(standardizeVectorMatA)

MatB1 = np.array([[1, 1/3, 1/8],
                  [3, 1, 1/3],
                  [8, 3, 1]])
standardizeVectorMatB1 = abhWeightVector(MatB1)
print(standardizeVectorMatB1)

MatB2 = np.array([[1, 2, 5],
                  [1/2, 1, 2],
                  [1/5, 1/2, 1]])
standardizeVectorMatB2 = abhWeightVector(MatB2)
print(standardizeVectorMatB2)

MatB3 = np.array([[1, 1, 3],
                  [1, 1, 3],
                  [1/3, 1/3, 1]])
standardizeVectorMatB3 = abhWeightVector(MatB3)
print(standardizeVectorMatB3)

MatB4 = np.array([[1, 3, 4],
                  [1/3, 1, 1],
                  [1/4, 1, 1]])
standardizeVectorMatB4 = abhWeightVector(MatB4)
print(standardizeVectorMatB4)

MatB5 = np.array([[1, 4, 1/4],
                  [1, 1, 1/4],
                  [4, 1, 1]])
standardizeVectorMatB5 = abhWeightVector(MatB5)
print(standardizeVectorMatB5)

MatB = np.array([standardizeVectorMatB1, 
                 standardizeVectorMatB2, 
                 standardizeVectorMatB3, 
                 standardizeVectorMatB4, 
                 standardizeVectorMatB5])
print(MatB)

sumY1 = 0
sumY2 = 0
sumY3 = 0
for i in range(0, MatA.shape[0]):
    sumY1 += standardizeVectorMatA[i] * MatB[i][0]
    sumY2 += standardizeVectorMatA[i] * MatB[i][1]
    sumY3 += standardizeVectorMatA[i] * MatB[i][2]
    
sumY = [sumY1, sumY2, sumY3]
print(sumY)
maxY = max(sumY)
theBestIndex = sumY.index(maxY)
print(theBestIndex)

在線工具避免個(gè)人計(jì)算：
wis-ai
spssau

參考Blog:
層次分析法（AHP）詳細(xì)步驟