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二維旋轉(zhuǎn)

二維

\left\{\begin{matrix} x=r\cos \phi \\ y=r\sin \phi \end{matrix}\right.

$\left\{\begin{matrix} x'=r\cos (\phi+\theta) \\ x'=r\sin (\phi+\theta) \end{matrix}\right.$

三角函數(shù)展開：

$\left\{\begin{matrix} x′=r\cos(\theta)\cos(\phi)?r\sin(\theta)\sin(\phi)\\ y′=r\sin(\theta)\cos(\phi)+y\cos(\theta)\sin(\phi) \end{matrix}\right.$

帶入xy公式：

$\left\{\begin{matrix} x′=x\cos(\theta)?y\sin(\theta)\\ y′=x\sin(\theta)+y\cos(\theta) \end{matrix}\right.$

轉(zhuǎn)為矩陣形式：

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) &-\sin(\theta) \\ \sin(\theta) &\cos(\theta) \end{bmatrix} \ast \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$

二維繞點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)矩陣對角記憶

加入平移引入齊次坐標：

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) &-\sin(\theta) &t_x\\ \sin(\theta) &\cos(\theta) &t_y\\ 0& 0&1 \end{bmatrix} \ast \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}$

三維旋轉(zhuǎn)(齊次坐標下)

三維坐標系定義

繞X軸旋轉(zhuǎn)

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0& 0\\ 0 & \cos(\theta) &-\sin(\theta) &0 \\ 0 & \sin(\theta) &\cos(\theta)&0\\ 0 & 0& 0&1 \end{bmatrix} \ast \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}$

繞Y軸旋轉(zhuǎn)

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) &0\\ 0 &1 &0 &0\\ \cos(\theta) &0 &-\sin(\theta) &0\\ 0 & 0 & 0 &1 \end{bmatrix} \ast \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}$

繞Z軸旋轉(zhuǎn)

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) &-\sin(\theta) &0 &0 \\ \sin(\theta) &\cos(\theta) &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0\\ 0& 0& 0& 1 \end{bmatrix} \ast \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}$

右手坐標系，拇指為旋轉(zhuǎn)軸方向，四指彎曲方向由源軸指向目標軸
旋轉(zhuǎn)矩陣中，源軸為cos -sin 目標軸為 sin cos
參考

如何求旋轉(zhuǎn)矩陣

知道源坐標系及目標坐標系在原坐標系下的定義即可求得旋轉(zhuǎn)矩陣

點乘叉乘的定義
注意：numpy中點乘結(jié)果為標量叉乘結(jié)果為矢量外積結(jié)果是矩陣

在剛體運動中，同一個向量在各個坐標系下的長度和夾角不發(fā)生變換，這種變換稱為歐式變換，由旋轉(zhuǎn)和平移組成

設(shè)兩個單位正交基， $\begin{bmatrix} e_1,e_2,e_3\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} e_1^,,e_2^,,e_3^,\end{bmatrix}$ ， $e_i$ 為3x1列向量。

即已知源坐標系 $e_i$ 和目標坐標系 $e_i^,$ 及向量 $a$ 在源坐標系的定義

對于同一個向量 $a=[a_1,a_2,a_3]^T$ 有
$\begin{bmatrix}e_1,e_2,e_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}e_1^,,e_2^,,e_3^,\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1^,\\ a_2^,\\ a_3^, \end{bmatrix}$
將坐標系 $e$ 旋轉(zhuǎn)為坐標系 $e^,$ ，需將上式左邊乘以 $\begin{bmatrix}e_1^,,e_2^,,e_3^,\end{bmatrix}^{-1}$ .

單位正交矩陣，單位正交矩陣的性質(zhì)其逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣： $\begin{bmatrix}e_1^,,e_2^,,e_3^,\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}e_1^,,e_2^,,e_3^,\end{bmatrix}^{T}$

得到如下公式：
$\begin{bmatrix} a_1^,\\ a_2^,\\ a_3^, \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}e_1^{,T}\\e_2^{,T}\\e_3^{,T}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}e_1,e_2,e_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix}$
展開
$\begin{bmatrix} a_1^,\\ a_2^,\\ a_3^, \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e_1^{,T}e_1 & e_1^{,T}e_2 &e_1^{,T}e_2 \\ e_2^{,T}e_1 & e_2^{,T}e_2 &e_2^{,T}e_2 \\ e_3^{,T}e_1 & e_3^{,T}e_2 &e_3^{,T}e_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix}$
$R= \begin{bmatrix} e_1^{,T}e_1 & e_1^{,T}e_2 &e_1^{,T}e_2 \\ e_2^{,T}e_1 & e_2^{,T}e_2 &e_2^{,T}e_2 \\ e_3^{,T}e_1 & e_3^{,T}e_2 &e_3^{,T}e_2 \end{bmatrix}$

其中R為旋轉(zhuǎn)矩陣，加上平移向量 $t$ 改為齊次坐標
$\begin{bmatrix} a^,\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R & t\\ 0^T &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\ 1 \end{bmatrix}$

參考資料

當僅知道原坐標系和目標坐標系時

以相機坐標系旋轉(zhuǎn)為例
相機坐標系a滿足以下條件：
$a=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$
可得：
$a^,=Ra\ a^,=R$
即若能求得目標坐標系在原坐標系下的定義矩陣，則旋轉(zhuǎn)矩陣 $R$ 即為 $a^,$ 坐標系的描述，該矩陣每個列向量即為坐標軸 $x,y,z$ 的分量
$R_1^{T}$ $R_2^{T}$ $R_3^{T}$