引子：音樂是關(guān)于感情、感覺的表達(dá)，而數(shù)字是理性、推理的體現(xiàn)?？墒怯腥藚s說音樂的本質(zhì)是數(shù)學(xué)？
一周后，學(xué)生和老師在餐廳碰面了。
“如果你有印象，上次我們說到希臘的畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras ）學(xué)派，他們認(rèn)為音樂的本質(zhì)是數(shù)字?！?老師說到。（《時(shí)間之問16》漫漫回歸路）
“嗯，我們說過這一點(diǎn)。可是我不能同意這句話！” 學(xué)生爭(zhēng)辯道。
“為什么呢？” 老師說道。
“因?yàn)橐魳肥顷P(guān)于感情、感覺的表達(dá)，而數(shù)字是理性、推理的體現(xiàn)。如果說音樂和數(shù)字是兩個(gè)居民的話，他們一定居住在一個(gè)國(guó)家的南北兩端，可能一輩子都見不上一面，更別說建立聯(lián)系了，不是嗎？”
“你說的有道理，不過畢達(dá)哥拉斯學(xué)派自有他們的主張，他們認(rèn)為兩者之間的聯(lián)系天經(jīng)地義，他們甚至試圖在音樂和數(shù)字之間建立一種內(nèi)在的聯(lián)系?！?老師說道。
“他真是一個(gè)奇怪的人！我實(shí)在想不明白，麻煩你好好講講這是怎么一回事?！?/p>
“好，讓我們回到2500年前的歐洲。你應(yīng)該知道，歐亞大陸的交接處一直是文明集中的地方?！?/p>
“是的，一片藍(lán)色的地中海把歐洲東部的希臘和亞洲西部連接在一起?！?/p>
“對(duì)，那你一定還記得我們以前講到的安提基特拉機(jī)械吧？畢達(dá)哥拉斯的故事就發(fā)生在這一地區(qū)。如果你站在希臘半島向東南眺望，你會(huì)看到一片小島林立的大海，它叫做愛琴海?！?老師說道。 （ 《時(shí)間之問11》發(fā)現(xiàn)安提基特拉機(jī)械）
“哈，說到愛琴海，我非常喜歡碧藍(lán)的愛琴海上的小島，島上依山而建的一座座白房子，安靜地棲居在藍(lán)天、大海和白云之間，就像一幅天然的畫卷。聽說愛琴海上有很多這樣美麗的小島，是嗎？”
“對(duì)，愛琴海上的島嶼林林總總，仿佛上帝灑下的一串閃亮的珍珠，一點(diǎn)點(diǎn)把歐洲東部和亞洲西部連接起來，只要一艘木船就可以從其中一個(gè)島嶼漸漸航行到歐洲大陸。愛琴海上有一個(gè)島嶼叫做薩默斯島，2500多年前畢達(dá)哥拉斯就出生在這個(gè)島上。”
“哦，主角要出場(chǎng)了！”
“畢達(dá)哥拉斯曾師從名家學(xué)習(xí)幾何學(xué)、數(shù)學(xué)和哲學(xué)。年輕時(shí)去埃及和巴比倫游歷，學(xué)習(xí)吸收了東西方的優(yōu)秀文化?！?/p>
“那后來呢？”
“公元前520年左右，畢達(dá)哥拉斯來到意大利南部的克羅頓（Crotone，又名克羅托內(nèi)），定居下來。”
“克羅頓在意大利什么地方？”
“如果把意大利比作一只踢足球的靴子，西西里島是足球的話，那么克羅頓就是一座位于腳掌的沿海城市。坊間一直以來流傳著一個(gè)關(guān)于他和音樂的故事，雖然真實(shí)性已經(jīng)不可考了。”
“不妨講講”， 學(xué)生說道，“如果故事有意思的話?！?/p>
“那好。也許你在其它地方也會(huì)找到類似版本的故事，情節(jié)多少有些出入，但是重要的不是故事細(xì)節(jié)，而是畢達(dá)哥拉斯所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)和音樂的關(guān)系?！?/p>
“好，請(qǐng)講吧?！?/p>
“故事是這樣的：有一天畢達(dá)哥拉斯在街市上行走，路過一家鐵匠鋪，聽到打鐵鋪?zhàn)永飩鞒鲧H鏘有力、節(jié)奏明快的叮叮當(dāng)當(dāng)?shù)穆曇簦紶枙?huì)聽到一聲很特別的聲音，吸引了他的注意力?！?/p>
“是一種什么聲音吸引了他？”
“雖然畢達(dá)哥拉斯是一名數(shù)學(xué)家，但是他對(duì)“美” 有著一顆異常敏感的心，他心生好奇：這聲音是怎么發(fā)出來。于是停下腳步，走向路邊的一間鐵匠鋪，門口紅通通的爐火映照在一位老者滄桑的臉頰上，也映照在一位年輕小伙子稚嫩的額頭上，兩人的臉因?yàn)楹顾痴諣t火顯得滿面紅光。打鐵的是師徒二人，他們先把鐵器先在爐火里燒紅，然后合力搬到大鐵墩上，老師傅掄小錘、學(xué)徒掄大錘，不停敲打鍛造鐵器，按照客人的要求鍛造成不同的工具或者兵器。”
“嗯，打鐵需要好體力?！?/p>
“師徒二人目光如炬，全身心地投入掄錘敲打，絲毫沒有覺察到旁邊站著的畢達(dá)哥拉斯。當(dāng)兩人同時(shí)掄起錘子砸到鐵塊上時(shí)，會(huì)發(fā)出一種和單獨(dú)砸下去不一樣的聲音，聽起來很獨(dú)特。 畢達(dá)哥拉斯靜靜地看著師徒掄錘，咂摸這這種獨(dú)特的聲音，仿佛進(jìn)入無人之境?！?/p>
“畢達(dá)哥拉斯也入迷了？”
“突然，他的嘴角露出了一絲不易察覺的微笑，一轉(zhuǎn)身神秘地走了?！?/p>
“他有了一個(gè)奇妙的想法？”
“第二天，畢達(dá)哥拉斯又回來了，他請(qǐng)求鐵匠看一下昨天打鐵用的錘子，并量了它們的重量，并請(qǐng)求鐵匠配合他做一些實(shí)驗(yàn)，試試不同錘子兩兩組合同時(shí)捶打，什么情況下會(huì)發(fā)出獨(dú)特悅耳的聲音。”
“他有什么發(fā)現(xiàn)嗎？”
“畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)有四種錘子兩兩組合同時(shí)擊打鐵器會(huì)發(fā)出和諧的聲音，分別是12磅，9磅，8磅和6磅。”
“這四個(gè)數(shù)有什么特別之處嗎？”
“如果它們兩兩相減，似乎并沒有什么有規(guī)律的東西?！?/p>
“是的?！?/p>
“可是這不要緊，畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為數(shù)與數(shù)之間最重要的關(guān)系，不是相減，而是相除，也就是兩個(gè)數(shù)之間的比值更重要！”
“是嗎？我算算看，12，9，8，6，它們之間的比值分別是：”
12：6 = 2：1
12：8 = 9：6 = 3：2
12：9 = 8：6 = 4：3
9：8
“這幾個(gè)比值和音樂有關(guān)系嗎？” 學(xué)生問道。
“畢達(dá)哥拉斯非常擅于聯(lián)想。他想到了他很喜歡的樂器--當(dāng)時(shí)非常流行的里拉琴，從里拉琴里畢達(dá)哥拉斯獲得了靈感?！?/p>
“里拉琴是什么？”
“里拉琴曾是西方弦樂之母。最常見的有7根弦，便于攜帶，游吟詩人經(jīng)常帶著它彈唱。如果有兩個(gè)相同長(zhǎng)度的琴弦，把其中一根弦從中間按住，彈奏剩下的一半琴弦，那么聲音會(huì)變高。通常叫做聲音提高了八度?！?/p>
“嗯，能夠想象出來，彈吉他是類似的。”
“如果一個(gè)琴弦按住1/3處，彈奏剩下的2/3琴弦，琴聲也會(huì)變高，但是沒有剛才那么高，只提高了五度。”
“嗯，也就是說琴弦越短，音調(diào)越高？” 學(xué)生問到。
“對(duì)，我們可以猜測(cè)琴弦的長(zhǎng)度和音高剛好成反比，你同意嗎？”
“直覺上是這樣的?！?/p>
“這是彈奏一根琴弦的情況。如果同時(shí)彈奏兩根不同長(zhǎng)度的琴弦，情況就不一樣了?！?/p>
“哦，同時(shí)撥動(dòng)兩根琴弦嗎？怎么不一樣了？”
“如果精心挑選兩根琴弦長(zhǎng)度，同時(shí)彈奏它們，有時(shí)候你會(huì)聽到一聲非常好聽的聲音，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了彈奏一根琴弦的聲音。人們把這種聲音叫做和聲。例如兩根琴弦長(zhǎng)度比是2：1，那么它們發(fā)出的和聲非常和諧好聽?！?/p>
“我也想聽一聽，可是這里沒有琴。”
“沒關(guān)系，我們可以用手機(jī)來模擬一下?！崩蠋熌贸鍪謾C(jī)，打開一個(gè)程序，出現(xiàn)了一臺(tái)鋼琴的界面。老師用手同時(shí)按下中音和高音1，發(fā)出一個(gè)和聲。在鋼琴里，高音1和低音1后面的琴弦長(zhǎng)度比是2：1?！?/p>
“嗯，是很和諧。那如果隨便挑兩個(gè)琴鍵一起按下呢？” 學(xué)生問道。
老師同時(shí)按下中音的1和2，發(fā)出的聲音有點(diǎn)刺耳。
“有點(diǎn)意思。可是這和畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的鐵錘有什么關(guān)系呢？”
“對(duì)于鐵錘來說，12磅和6磅錘子的重量之比正是2：1，所以它們同時(shí)擊打鐵砧也會(huì)發(fā)出很和諧的聲音！”
“哦，原來如此！”
“如果你同意的話，每個(gè)人聽一首曲子，最基本的要求是所有音符順序彈出來后感到和諧，而不希望突然冒出一個(gè)音符聽起來很突兀?！? 老師說道。
“同意，這是最基本的要求?！?/p>
“可是如果一個(gè)里拉琴的演奏者不小心按到了一個(gè)錯(cuò)誤的位置，就會(huì)發(fā)出很不和諧的聲音?；蛘咭粋€(gè)作曲家隨便寫一個(gè)音符，彈奏出來就會(huì)很不好聽。你是不是覺得我們有必要?jiǎng)?chuàng)建一些規(guī)則來避免這些情況？”
“嗯，是很有必要。那如何創(chuàng)建規(guī)則呢？”
“我們可以先從最基本的需求開始，即任何兩個(gè)音符之間聽起來都是和諧的。如果我們有了一個(gè)中音1，那么希望其它任意一個(gè)音符和這個(gè)中音1之間是和諧的?！?/p>
“嗯，這樣就保證無論這個(gè)音是緊隨著中音1還是和中音1同時(shí)彈奏，都不會(huì)出現(xiàn)奇怪的聲音?？墒窃趺磳?shí)現(xiàn)呢？”
“訣竅就是---- “和聲”！” 老師說到。
“和聲？”
“對(duì)，例如從一個(gè)中音1的琴弦出發(fā)，把琴弦縮短一半，頻率變?yōu)?倍，就可以得到八度和聲，這樣我們就找到了高音1。這兩個(gè)音的琴弦長(zhǎng)度比是2：1，剛好和12磅和6磅的鐵錘的重量比一樣。”
“嗯，這一步很簡(jiǎn)單，那其它的音符怎么產(chǎn)生呢？”
“我們接下來可以找到中音1的琴弦的2/3長(zhǎng)度，這個(gè)音聽起來也很和諧?！?/p>
“這個(gè)音叫什么呢？”
“這個(gè)音比中音1高五度?！?/p>
“等等，請(qǐng)打住一下，我聽得有點(diǎn)暈了”，學(xué)生等不及地說道，“琴弦長(zhǎng)度折半，聲音就高了8度，可是長(zhǎng)度變成2/3，聲音卻高了5度，這是怎么回事？畢達(dá)哥拉斯的數(shù)學(xué)不是很嚴(yán)謹(jǐn)嗎？我在這里怎么看不到數(shù)字之間的邏輯關(guān)系呢？”
“你問的有道理。這些八度、五度的名稱可不是數(shù)學(xué)家起的，而且已經(jīng)約定成俗了，這樣吧，我們先這樣記住，以后等我們創(chuàng)造了更多的音符，那時(shí)再解釋就容易理解了，可以嗎？”
“好吧，那接下來還能創(chuàng)造哪些音符呢？”
“如果琴弦變短為3/4，彈出來的音符比原來高四度，對(duì)應(yīng)于12:9或者8：6的鐵錘租組合。”
“好的。最后還有一個(gè)9：8的組合叫幾度？”
“9：8叫純二度。以此類推，我們可以不斷生成新的音符，而這些新音符和前面生成的音符是比值關(guān)系，這樣就可以保證所有的音符聽起來很和諧。”
12：6=2：1 --> 純八度音
12：8=9：6=3：2 --> 純五度音
12：9=8：6=4：3 --> 純四度音
9：8 --> 純二度音
“在這幾種比例里面，所有的音聽起來都是一樣和諧嗎？還是有些聽起來更和諧？” 學(xué)生問道。
“不一樣，一般來說八度是聽起來最和諧的，接下來是純五度和純四度，最后是純二度。?！?/p>
“為什么是這樣呢？有什么規(guī)律嗎？”學(xué)生一邊說一邊想，“你先別說，讓我想一想?！?/p>
“好的，我等你?！崩蠋熚⑿χf道。
“讓我看看，八度的比例是2：1，純五度的比值3:2，純四度的比例是4:3，純二度的比值是9:8。”
“是的?！?/p>
突然，學(xué)生眼前一亮，說到：“兩兩比值的分子分母越小，聲音越和諧，是這樣的嗎？”
“對(duì)頭！你說得完全正確?！?/p>
“可是這背后又是因?yàn)槭裁茨兀俊?學(xué)生撓了撓頭，沉吟了一下，追問到。
“回歸！”
“回歸？什么的回歸？”
“音樂的回歸?！?/p>
“音樂的回歸？你的意思是...”學(xué)生一邊說一邊用手比劃著：“就像剛才說的用質(zhì)數(shù)作為種子，任意幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘就可以生成無窮多個(gè)新數(shù)。類似地，從一個(gè)基準(zhǔn)音出發(fā)，乘以一定的系數(shù)就可以生成各種各樣的音符？”
“正是如此，這樣所有的音符通過一定的比例關(guān)系，都可以回歸到最初的那個(gè)音上，不是嗎？” 老師眨了眨眼說道。
“似乎是這樣的，所以這就是你說的音樂的回歸？”
“嗯，這是第一層意思，不過“音樂的回歸”還有另外一層意思。” 老師說道。
“不會(huì)是音樂也要排除萬難、回家過年吧？”
“不要調(diào)皮哦！既然你對(duì)這背后的原因這么感興趣，我們不妨再深入探討一下?！?/p>
“我很感興趣，請(qǐng)繼續(xù)吧?！?/p>
“不過前方有高能預(yù)警，你做好準(zhǔn)備了么？”
“沒問題，準(zhǔn)備好了！不管前面是萬頭攢動(dòng)、一片后腦勺的站前廣場(chǎng)、還是摩肩接踵擠成相片的硬座車廂，我都準(zhǔn)備好了，上路吧！” 學(xué)生說道。
“好。我這里說的音樂的回歸的第二層意思，還真有點(diǎn)像回家過年，只不過用不著等一年，只需等幾個(gè)毫秒就可以了。”
“幾個(gè)毫秒？1毫秒是1秒的千分之一，那可真是一剎那的功夫啊，到底發(fā)生了什么情況？” 學(xué)生驚嘆道。
“請(qǐng)看：就在這短短的毫秒之間，一個(gè)音符躍了出來，跳了數(shù)十段優(yōu)美的華爾茲，然后又隨風(fēng)而散了。”
“是誰在跳舞？” 學(xué)生不解地問道。
“我說的是聲音波動(dòng)的形狀，就像一個(gè)彈來跳去的皮球，只不過用了一種通俗形象的說法而已?！?/p>
“也就是說把聲音當(dāng)成一種波？”
“對(duì)，你還記得最簡(jiǎn)單、也是最美、最優(yōu)雅的波是什么形狀嗎？”
“最簡(jiǎn)單、最美最優(yōu)雅的？讓我想想?！睂W(xué)生撓了一下頭，“是正弦波嗎？我只知道它很簡(jiǎn)單?！?/p>
“正是。把一根繩子拴在門把手上，手里拿著另外一頭抖動(dòng)繩子，繩子就會(huì)振動(dòng)起來，這種形狀就是正弦波。你還記得吧？”
“哦，想起來了，它確實(shí)很簡(jiǎn)單。不過為什么說它又是最美、最優(yōu)雅的呢？”
“你還記得我們說過古希臘人認(rèn)為世上最完美的形狀是什么嗎？” （ 《時(shí)間之問14》古老機(jī)械的愛恨恩仇）
“當(dāng)然記得，是圓形---因?yàn)閳A周上任意一點(diǎn)到中心的距離都相等?！?/p>
“好。如果有一個(gè)點(diǎn)做圓周勻速運(yùn)動(dòng)，它的高度隨時(shí)間的變化就是正弦波?！?老師說道。
“嗯，正弦波的一個(gè)完整周期的形狀，就是從0出發(fā)，上升到最高點(diǎn)，有降落到最低點(diǎn)，然后回到初始的原點(diǎn)?！?/p>
“對(duì)，你不覺得這是一個(gè)完美的回歸嗎？” 老師說道。
“哦！原來如此！我明白你想說的意思了。如果中間黃色的點(diǎn)是太陽，繞著它運(yùn)動(dòng)的綠色點(diǎn)是地球，那么地球繞太陽一周剛好是一年，完成了一次回歸?！?學(xué)生驚嘆道。
“對(duì)。而一個(gè)聲波的形狀從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過一圈之后又回到出發(fā)的地方，就是一個(gè)回歸。這就是我說音樂的回歸的另外一層含義。”
“可是，怎么用這樣一個(gè)正弦波去解釋和聲很好聽呢？難道也和回歸有關(guān)嗎？”
“我猜你是說為什么2：1，3：2，4：3，9：8等等這些比例關(guān)系意味著回歸，是嗎？” 老師說道。
“是的，麻煩你詳細(xì)解釋一下。”
“我先回顧一下我們之前得到的共識(shí)：2：1的和聲最好聽，3:2次之，之后是4:3，最后是9：8，是這樣嗎？”
“是的，我們說過。”
“好，我們來看看為什么？我試圖給出一些解釋，雖然不是嚴(yán)格的證明，但應(yīng)該能讓你記住?！?/p>
“好的，比起數(shù)學(xué)證明來說我更喜歡直覺上的解釋。”
“讓我們畫一根長(zhǎng)度為1的琴弦，當(dāng)彈奏它時(shí)它會(huì)上下振蕩，所以我畫了一個(gè)梭子的形狀表示琴弦的振動(dòng)，我把它叫做一個(gè)包絡(luò)?！?/p>
“嗯，這很簡(jiǎn)單，它代表最基本的那個(gè)聲音的波形?！?/p>
“對(duì)。接下來，我按住這根琴弦的中間，分別彈奏左右兩邊的琴弦。你會(huì)聽到聲音高了八度，這樣琴弦振動(dòng)起來就像兩個(gè)包絡(luò)?！?/p>
“同意，我們可以一直做下去。”
“對(duì)，接著按住琴弦的1/3和2/3處，彈奏的聲音更高了，聲音頻率變成3倍，這樣就可以畫出三個(gè)包絡(luò)。”
“好的?！?/p>
“我們先看第一個(gè)和第二個(gè)波形。這兩個(gè)波形在起始點(diǎn)和終點(diǎn)各有一個(gè)重合點(diǎn)，也就是說最多經(jīng)過兩個(gè)包絡(luò)，這兩個(gè)波形就又同時(shí)回歸到共同的位置?！?/p>
“嗯，看到了，然后又開始新的一輪重復(fù)，那這和聲音和諧有什么關(guān)系呢？”
“當(dāng)波形的出發(fā)點(diǎn)和回歸點(diǎn)有重合時(shí)，聲音聽起來和諧。因?yàn)檫@樣的過程同時(shí)出發(fā)又同時(shí)回歸，就像詩歌的押韻一樣有規(guī)律?！?/p>
“為什么呢？”
“我打個(gè)比喻你就聽懂了。唐詩的五言和七言絕句很有韻律，你知道為什么嗎？”
“是因?yàn)檠喉?，句子最后的一個(gè)韻母都相同。”
“沒錯(cuò)，每句詩的最后一個(gè)音節(jié)押一下韻，就像是一次聲音的回歸，所以聽起來好聽。”
“哦，這下我明白了，對(duì)于聲音來說每經(jīng)過2個(gè)包絡(luò)就重合一次，所以八度的和聲很好聽！”
“是的?！?/p>
“對(duì)了，那如果兩個(gè)聲音波的頻率不是整除關(guān)系呢？比方說五度和聲，它們是第三個(gè)和第二個(gè)波形，3：2的關(guān)系？” 學(xué)生問道。
“哦...”老師沉吟了一下繼續(xù)說道，“這兩個(gè)音也可以同時(shí)回歸，不過要等更多的包絡(luò)才會(huì)遇到一次同時(shí)回歸。你看，經(jīng)過3個(gè)包絡(luò)二者就可以重新回歸到一處了?！?/p>
“哦，是啊。我懂了，以此類推，如果兩個(gè)波的頻率比是4:3，那至多需要4個(gè)包絡(luò)，兩者才可以回歸；如果頻率比是9：8，那回歸所需的包絡(luò)數(shù)量就要增加到9了?！?學(xué)生問道。
“對(duì)，回歸所需的包絡(luò)越多，和諧性就越差?！?/p>
“嗯，我終于明白了”，學(xué)生舒展了一下身子說道，“如果一首詩要等9句才有一個(gè)押韻，那就不太好聽了?！?/p>
“現(xiàn)在我們用完美的圓形來解釋“回歸”就更直觀了?！?/p>
“好的，請(qǐng)解釋一下吧。”
“既然正弦波是由一個(gè)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，所以當(dāng)波形回歸到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)剛好轉(zhuǎn)了一圈、回到了出發(fā)點(diǎn)?！?/p>
“同意，能舉個(gè)例子嗎？”
“比如有兩個(gè)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，一個(gè)速度是3，另一個(gè)速度是2，它們對(duì)應(yīng)于兩個(gè)周期不同的正弦波?，F(xiàn)在它們都從12點(diǎn)的位置出發(fā)，速度為3的轉(zhuǎn)了3圈時(shí)、速度為2的點(diǎn)剛好轉(zhuǎn)了2圈，它們倆同時(shí)回歸到12點(diǎn)的位置。如果這兩個(gè)做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)來產(chǎn)生正弦波... ” 老師停下來，看了一下學(xué)生。
“就可以用正弦波代表聲音波形？！表示3：2的純五度和聲？！”
“完全正確！”
“原來如此！那每次過年回家，也是一次回歸！和我的兄弟姐妹、兒時(shí)伙伴的一次集體回歸。” 學(xué)生插了一句。
“對(duì)！我相信你過完年回家之后，內(nèi)心會(huì)感到更加“和諧”。今天時(shí)間不多了，先聊到這里吧！”
“好的，老師再見！”
“再見！”
