比較兩人的工作
（1）阿基米德計(jì)算的圓周率在 223/71 和 22/7之間，日常用 22/7
????????? 劉徽計(jì)算的圓周率在 3.141024 和 3.142704之間，日常用3.14,
????????? 更精確場(chǎng)合用更精確的近似值3.1416
（2）阿基米德使用比例計(jì)算，劉徽使用面積計(jì)算
（3）阿基米德使用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例定理，角平分線(xiàn)性質(zhì)定理,不等式;
????????? 劉徽使用勾股定理，等式。
（4）阿基米德從內(nèi)外兩面，用基本相同的方法計(jì)算，方法顯得古拙，大氣;
劉徽從內(nèi)部計(jì)算，最后對(duì)數(shù)值進(jìn)行巧妙處理，方法顯得精巧，靈活。
（5）阿基米德不告訴你如何用分?jǐn)?shù)逼近開(kāi)平方的無(wú)理數(shù);劉徽不告訴你如何用已有的數(shù)據(jù)估值未知。
（6）本質(zhì)的比較
阿基米德是在計(jì)算比例，用現(xiàn)代的觀(guān)點(diǎn)看，表面上看是計(jì)算余切和余割，本質(zhì)上使用的是正切和正弦。也就是弧度制下的 sin(x) < x < tan(x) 。上圖中，取自單位圓，半徑為1。DF是正弦線(xiàn)，BE是正切線(xiàn)。阿基米德利用的是弧線(xiàn)比DF長(zhǎng)，比BE短來(lái)證明。把阿基米德的方法等價(jià)成為面積法，近似就是扇形CBD的面積比三角形CBD大，比三角形CBE小。(三角形CBD的邊BD沒(méi)有畫(huà)，但可以肯定是在弧 BD 內(nèi)部，比弧線(xiàn)短)
劉徽的方法是計(jì)算面積，內(nèi)部同阿基米德一樣，還是扇形比三角形CBD面積大，外面范圍縮小了一點(diǎn)點(diǎn)，從三角形CBE上，減去角落里的EDG，這樣得到一個(gè)四邊形 DGBC，扇形面積比這個(gè)四邊形小。
先證明上面的不等式。然后看劉徽計(jì)算的四邊形由三角形和矩形兩部分加起來(lái)：
sin(x)cos(x)/2 + [1-cos(x)] sin(x) = sin(x)(1-cos(x)/2)
正切線(xiàn)對(duì)應(yīng)的三角形面積為 tan(x)/2
由上面的不等式可以看到，劉徽的估值更加接近。從一面獲得比兩面更加精確的估計(jì)，不能不說(shuō)技巧高超。但舍去的那一部分確實(shí)是更小更小的部分，可以忽略不記，加上或者減去沒(méi)什么影響，因此，阿基米德的計(jì)算顯得更加狂放和不據(jù)小節(jié)。
上面一組不等式可以寫(xiě)成
sin(x)cos(x) < sin(x)? < 2sin(x/2) <? x? <? sin(x)(2-cos(x))? < tan(x)
分別對(duì)應(yīng)于小三角形面積，半弦，弦、弧，四邊形面積，大三角形面積。實(shí)際上，當(dāng)x從正方向趨向于0,成為無(wú)窮小的時(shí)候，上面幾個(gè)值都差不多大，很多時(shí)候可以相互替換。用x兩邊的值都可以?shī)A住x。
因此，現(xiàn)在世界上人們用的圓周率都是差不多一樣大小的。這是各種文化最統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)。
