從六邊形開始，劉徽能夠站的肩膀只有“周三徑一”的民間說法，他遙望著海島，找不到任何趁手的工具，“獨愴然而涕下”。“數(shù)術(shù)”，在古代很多時候都是被瞧不起的。技巧，在某些年代被稱為“奇技淫巧”。墨家有圓規(guī)和矩尺，最講規(guī)矩，所以說“墨守成規(guī)”。但古人沒有說“墨守成矩”。矩尺，用勾股定理就全部解決了。圓規(guī)畫出的圖形，如此的迷人，處處對稱，但古人卻不知道她的面積究竟是多少，因此覺得神奇，墨家就守著這個圓規(guī)畫出的圖形。而墨家，代表的是最底層人民的利益，在古代自然無法發(fā)揚光大。墨家“兼愛”的思想大約出于圓，圓周上，每個點都是平等的，到圓心的距離都一樣。
劉徽也許看過墨家的斷簡殘編，看到墨家講的極限思想，于是開啟了割圓術(shù)之旅。他手里，只有一個工具，他之前，古人用過超過千年，百用不厭的商高-陳子-畢達哥拉斯-勾股定理。
歐幾里德用各種公設(shè)，證明了勾股定理，然后用勾股定理和其它構(gòu)建了一個美好的幾何世界。我看似乎可以把勾股定理及其逆定理作為第一公設(shè)，期待懂?dāng)?shù)學(xué)的人告訴我能否實現(xiàn)。
劉徽是不怎么證明勾股定理的。直接用。勾股定理很多人都證過。業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，最樂于做的幾件事：
（1）證明勾股定理
（2）計算圓周率
（3）e的相關(guān)公式的證明，會用exp算利率
（4）炫耀歐拉公式，仿佛那是自己發(fā)現(xiàn)的一樣
（5）證明蝴蝶定理，用三種以上的方法
（6）對一個很難的問題，聲稱自己可以給出一個證明，地方太小，寫不下
其他不說了。本文就在做第二件事，重復(fù)計算圓周率的過程。
如圖，三角形AOB是一個正三角形，AB是圓O的一條弦，同時，AB就是內(nèi)接正六變形的一條邊。X點是弧AB的中點。XO垂直平分AB，垂足為點T。那么，AX是內(nèi)接正十二邊形的一條邊。
四邊形AOBX的對角線互相垂直。三角形AOX的面積是 XO * AT / 2 ，三角形BOX的面積是 XO*BT/2，兩個三角形相加，總面積是 XO*(AT+BT)/2，也就是XO*AB/2。就是說四邊形AOBX的面積是XO*AB/2。圓內(nèi)接正12邊形的面積是它的6倍。從這里，總結(jié)出的公式是：
圓內(nèi)接正2N邊形面積 = N × R × 內(nèi)接N邊形的邊長 / 2
如果規(guī)定圓的半徑為1, 會發(fā)現(xiàn)，在數(shù)值上，2N邊形的面積和 N邊形的半周長是一樣的，都是一個接近3的數(shù)，也就是隨著邊長增大，接近圓周率。
所以，劉徽計算面積，但是，通過N邊形的邊長，計算2N邊形的面積。
一開始，不需要計算面積，只是計算邊長。等計算到96邊形的邊長的時候，直接就可以計算192邊形的面積了。
計算邊長，一開始，要不斷的開方，所以，一開始也不計算邊長，而是計算邊長的平方。能夠不開方，就盡量不開方。
上圖中，規(guī)定半徑為1,則，
OT方 = AO方 -OT 方 = 1-1/4 =3/4=0.75
OT = 0.75開方 = 0.8660254,劉徽原文寫：“八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二”，因為他規(guī)定圓的半徑為1尺。那時候的單位是“尺寸分厘毫秒忽”，那個數(shù)字沒有提到“毫”，現(xiàn)在，自動幫他添0。最后的4是五分之二，也就是劉徽說的“五分忽之二”，單位是“忽”。所以，我說，古代中國的十進制運算發(fā)達，是依賴于單位的。每個數(shù)值都有單位。后世，祖沖之從“億”“萬”這樣的單位開始計算，所以，能走的更遠。
AX方= AT方+ TX方 = AT方 + （1 -? OT ) 方? = AT方 + 1 - 2OT + OT 方 = AO 方 + 1 -? 2OT = 2 - 2OT
AX方 = 0.26794922
實際上，正十二邊形邊長的平方精確的值是 （2 - 根號3）
文字描述數(shù)學(xué)，太困難了，上圖。
由內(nèi)向外運算。從1開始，不斷的加2,開方，加2，開方。若干次以后，用2減，就得到了想要的邊長的平方。最后，開出來，就是需要的結(jié)果了。很明顯，邊長會越來越短，兩部分相減會越來越接近于0,因此，盡量多保留一些有效數(shù)字才行。
這樣，計算得到96邊形的邊長，0.065438，原文說“開方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽”。
這個數(shù)字，乘以48,就是192邊形的面積。
48* 0.065438 = 3.141024
至此，劉徽的工作也完成了一半。圓的面積肯定比 3.14大，圓周率也比 3.14 大。
阿基米德先求上限，得到圓周率比 22/7 小， 劉徽先求下限，得到圓周率比 3.14大。22/7的近似值是3.142857。此時，如果把兩個人的工作結(jié)合并起來，也可以得到，圓周率大于3.141，小于3.143
但事實上，兩個人隔了萬水千山數(shù)百年，沒有合作的機會。倒是后來的祖沖之，繼承了國人強大的運算能力，直接算到7位小數(shù)，給出盈朒二率，震驚世界。祖沖之那個震驚世界的程度，不亞于現(xiàn)在的太湖之光和量子計算。
