數(shù)學(xué)家在計(jì)算任何東西的近似值時(shí)，都會(huì)給出一個(gè)區(qū)間，像左手和右手一樣，把心愛(ài)的人擁抱在懷中。如果只給一側(cè)的值，那么就會(huì)像楊過(guò)一樣，也是頂尖的高手。
阿基米德不是楊過(guò)。所以，他計(jì)算出圓周率小于 22/7 以后，他還要計(jì)算，圓周率大于多少。劉徽也不是楊過(guò)，他計(jì)算出圓周率大于3.141024以后，還要計(jì)算圓周率小于多少。盈朒二數(shù)都給出，才算完美。
阿基米德計(jì)算朒數(shù)的時(shí)候，也采用計(jì)算內(nèi)接多邊形邊長(zhǎng)的方法。因?yàn)椋瑑?nèi)接多邊形，周長(zhǎng)一定小于圓的周長(zhǎng)。
只是要計(jì)算邊長(zhǎng)。如圖，AC是圓的一條直徑，O是圓心。AD是內(nèi)接N邊形的一條邊，AE是內(nèi)接2N邊形的一條邊。這一次，計(jì)算邊長(zhǎng)，阿基米德使用的是直徑所在的三角形，而非半徑。直徑對(duì)的圓周角是直角，這一點(diǎn)可以帶來(lái)便捷。邊AD對(duì)的圓周角為ACD，圓周角是圓心角的一半。EC平分角ACD。
知道這些關(guān)系，按照前面的方法。在三角形ADC中，使用角平分線的性質(zhì)，可以算出三角形MDC三邊的比例。而三角形AEC同三角形MDC是相似的，這一點(diǎn)很重要。也就是說(shuō)，對(duì)應(yīng)邊的比例是一樣的。
在得到AEC三邊的比例以后，繼續(xù)平分角ACE，繼續(xù)計(jì)算比例。注意，阿基米德計(jì)算的是比例，不是長(zhǎng)度。所以有這樣便捷的方法。
這次計(jì)算的起點(diǎn)是角ACD為30度，AD還是六邊形的一條邊。始于3的算術(shù)平方根小于 1351/780 。也就是DC/DA小于1351/780。同樣，使用計(jì)算半角余切和余割的方法，一直計(jì)算最終得到直徑與內(nèi)接正96邊形一邊的比例。該值小于（2017又1/4）比66,化成小數(shù)是 30.5643939。
在計(jì)算內(nèi)接多邊形的時(shí)候，更關(guān)注余割值。
圓周率大于(96 × 66） ：2017.25 = 6366 比 2017.25，最后這個(gè)比例，阿基米德把它縮小一點(diǎn)點(diǎn)，寫(xiě)作 223/71 ,也就是 3又 10/71。
到此，阿基米德的工作完成了，他證明了圓周率大于 223/71，小于22/7 。在此基礎(chǔ)上，再接再厲，他給出了圓同其外切正方形面積之比近似值 11/14。 但在他的著作中，先給出了圓與其 外切正方形的面積比為 11/14 這個(gè)結(jié)論，明顯，他用的是西方人慣用的手法，先說(shuō)重要的事情。11/14為何重要呢？因?yàn)椋瑥?1/14也可以逆推出圓周率，設(shè)圓的半徑為R,其面積為 PI*R*R ；外切正方形面積為 (2R)*(2R)= 4*R*R，兩者的比例是 PI:4，也就是說(shuō) PI/4 = 11/14，從而，PI =44/14，約分以后，正好就是 22/7 。可見(jiàn)，應(yīng)用中，阿基米德更喜歡這個(gè)分?jǐn)?shù)。
理論上講，阿基米德可以使用精度更高的3的平方根開(kāi)始計(jì)算，平分到更小的角度，從而得到更加精密的數(shù)值。但那個(gè)年代，22/7 的精度用在生活中足夠了，而且很方便使用。每當(dāng)覺(jué)得自己做的不夠好的時(shí)候，想想“美國(guó)人，在1897年準(zhǔn)備立法，用3.2做圓周率”這件事。笑一笑，就過(guò)去了。
劉徽在得到 3.141024以后，也不滿足于僅僅使用3.14，他指出，這個(gè)數(shù)字還是偏小，“圓率猶為微小”。那么，要找到一個(gè)比圓率大一點(diǎn)點(diǎn)的數(shù)字，才行。怎樣尋找呢？依然從面積入手。
如圖，設(shè)BC是正N邊形的一條邊，BE是正2N邊形的一條邊。圖中，綠色的是圓弧CEB。正2N邊形面積比正N邊形大，大多少呢？在這個(gè)局部看，大出的部分是紫色三角形BCE。那么，整體上看，大了N個(gè)這樣的三角形。
假如把紫色三角形復(fù)制一份，切成兩半，貼在2N邊形的外面，那么，2N邊形的面積加上這份復(fù)制，就可以比圓大一點(diǎn)點(diǎn)。
不得不嘆服，這個(gè)處理太有技巧了！那么，好，192邊形的面積計(jì)算過(guò)了，是3.141024。
96邊形的面積呢？用48邊形邊長(zhǎng)計(jì)算，
正48邊形邊長(zhǎng)是 0.130806，那么正96邊形面積是 48*0.130806/2 = 3.139344
192邊形比96變形大的數(shù)值是 3.141024 - 3.139344 =0.00168
把這個(gè)數(shù)值加到192邊形面積上，就可以比圓大了。
3.141024+0.00168 = 3.142704
到此，劉徽得到圓周率的范圍是 3.141024 至 3.142704。劉徽的工作已經(jīng)圓滿完成了。盈朒二數(shù)都有了。
從這個(gè)范圍可以發(fā)現(xiàn)，3.14已經(jīng)確定了，無(wú)論計(jì)算多少邊形，都不會(huì)再變了，再變，也是3.14后面的部分。3.14比“周三徑一”已經(jīng)是很偉大的突破了。因此劉徽對(duì) 3.14作為圓周率近似值，已經(jīng)比較滿意了。
但還不是很滿意。他做了更深遠(yuǎn)的計(jì)算。一方面，驗(yàn)證割圓術(shù)的正確性;一方面，驗(yàn)證3.14不會(huì)再改變;一方面，為了獲得更高的精度。這就是，為什么他的文章中前前后后的引用，很多人不知道他在做什么。
這部分計(jì)算，分成兩個(gè)部分。一是，直接使用前面的數(shù)據(jù)，在正192邊形的面積上直接做“消息”，就是根據(jù)192邊形的面積，以及前面各多邊形的面積，對(duì)圓面積做更精確的估計(jì);另一方面，繼續(xù)增加邊的數(shù)量，一直計(jì)算到正1536邊形的邊長(zhǎng)，得到正3072邊形的面積。通過(guò)消息，獲得估計(jì)值 3.1416，通過(guò)增加邊數(shù)，他驗(yàn)證了自己的估值，并且說(shuō)“若此者，蓋盡其纖微矣”，他猜測(cè)，3.1416可以把圓最細(xì)小的部分包括進(jìn)來(lái)，然后，通過(guò)計(jì)算到3072邊形，發(fā)現(xiàn)面積仍然沒(méi)有超出3.1416，于是，他對(duì)新的估值 3.1416 更滿意。
計(jì)算多邊形的方法是一樣的。那么，如何估值呢？從最初的幾個(gè)數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)，隨著邊數(shù)量的增加，面積增加的幅度越來(lái)越小，每次增量大約是前一次的1/4。192邊形面積是3.141024,比96邊形大0.00168。那么可以估計(jì)，384邊形會(huì)比192邊形大 0.00168/4，再往下一級(jí)，大0.00168/16...
于是，極限的狀態(tài)應(yīng)該是 3.141024 + 0.00168(1/4+ 1/16 +1/64 + 1/256...) = 3.141024 + 0.00168/3
=? 3.1415842，畢竟，后面的增長(zhǎng)比0.25稍大，因此，對(duì)3.14之后兩位進(jìn)行“入”的操作是合理的，估值就可以是 3.1416。這是我對(duì)劉徽估值方法的猜測(cè)。因?yàn)楣湃讼矚g用比例，如果看到每次增長(zhǎng)都變?yōu)樯弦淮蔚脑鲩L(zhǎng) 1/4這樣的事實(shí)，不可能不顧及。
計(jì)算，估值，驗(yàn)證。再計(jì)算，再估值，再驗(yàn)證。在中國(guó)，在劉徽之前，沒(méi)有人計(jì)算過(guò)圓周率。所以，劉徽會(huì)如此謹(jǐn)慎的前行。
后來(lái)的祖沖之有福了，依然用這個(gè)方法，向下計(jì)算，直接獲得7位小數(shù)?？上У氖?，那本叫做《綴術(shù)》的書(shū)在哪里？期待著有一天，考古工作者從古墓里挖出一本來(lái)。
