高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷：2018~2022年參數(shù)方程大題

2018年全國(guó)一卷題22

在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C_1 的方程為 y=k|x|+2. 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C_2 的極坐標(biāo)方程為 \rho + 2\rho \cos\theta-3=0.

（1）求 C_2 的直角坐標(biāo)方程；
（2）若 C_1 與 C_2 有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求 C_1 的方程.

2018年全國(guó)二卷題22

在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為

\left\{ \begin{array}\\ x=2\cos\theta \\ y=4\sin\theta \end{array} \right. (\theta 為參數(shù)).

直線 l 的參數(shù)方程為

\left\{ \begin{array}\\ x=1+t\cos\alpha \\ y=2+t\sin\alpha \end{array} \right. ( t 為參數(shù)).

（1）求 C 和 l 的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線 C 截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,2)，求 l 的斜率.

2018年全國(guó)三卷題22

在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中, \odot O 的參數(shù)方程為

\left\{ \begin{array}\\ x=\cos\theta \\ y=\sin\theta \end{array} \right. ( \theta 為參數(shù) )，

過(guò)點(diǎn) (0,- \sqrt{2}) 且傾斜角為 \alpha 的直線 l 與 \odot O 交于A,B 兩點(diǎn).
（1）求 \alpha 的取值范圍；
（2）求 AB 中點(diǎn) P 的軌跡的參數(shù)方程.

2019年全國(guó)一卷題22

在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為

\left\{ \begin{array}\\ x= \dfrac{1-t^2}{1+t^2} \\ y= \dfrac{4t}{1+t^2} \end{array} \right. ( t 為參數(shù) ).

以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn), x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 l 的極坐標(biāo)方程為 2\rho\cos\theta+\sqrt{3}\rho\cos\theta+11=0.

（1）求 C 和 l 的直角坐標(biāo)方程；
（2）求 C 上的點(diǎn)到 l 距離的最小值.

2019年全國(guó)二卷題22

在極坐標(biāo)系中，O 為極點(diǎn)，點(diǎn) M(\rho_0,\theta_0)\; (\rho_0 \gt 0) 在曲線 C:\rho=4\sin\theta 上，直線 l 過(guò)點(diǎn) A (4,0) 且與 OM 垂直，垂足為 P.

（1）當(dāng) \theta_0=\dfrac{\pi}{3} 時(shí)，求 \rho_0及 l 的極坐標(biāo)方程；
（2）當(dāng) M 在 C 上運(yùn)動(dòng)且 P 在線段 OM 上時(shí)，求 P 點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

2019年全國(guó)三卷題22

如圖,在極坐標(biāo)系 Ox 中， A(2,0), B( \sqrt{2}, \dfrac{\pi}{4}), C(\sqrt{2},\dfrac{3\pi}{4}), D(2,\pi)， 弧 \overset{\frown}{AB}, \overset{\frown}{BC}, \overset{\frown}{CD} 所在圓的圓心分別是 (1,0),(1,\dfrac{\pi}{2}),(1,\pi)，曲線 M_1 是弧 \overset{\frown} {AB}，曲線 M_2 是弧 \overset{\frown} {BC}，曲線 M_3 是弧 \overset{\frown} {CD}.
（1）分別寫(xiě)出 M_1,M2,M_3 的極坐標(biāo)方程；
（2）曲線 M 由 M_1,M_2,M_3 構(gòu)成，若點(diǎn) P 在 M上且 |OP|= \sqrt{3}，求 P 的極坐標(biāo).

2020年全國(guó)一卷題22

在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為

\left\{ \begin{array}\\ x= \cos^kt \\ y= \sin^kt \end{array} \right. （t為參數(shù)）.

以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C_2 的極坐標(biāo)方程為 4\rho\cos\theta -16\rho\sin\theta +3 = 0.

（1）當(dāng) k=1 時(shí)，C_1 是什么曲線?
（2）當(dāng) k=4 時(shí)，求 C_1 與 C_2 的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).

2020年全國(guó)二卷題22

已知曲線 C_1,C_2 的參數(shù)方程分別為

C_1:\left\{ \begin{array}\\ x=4\cos^2\theta \\ y=4\sin^2\theta \end{array} \right. （\theta為參數(shù)）

C_2:\left\{ \begin{array}\\ x= t+\dfrac{1}{t} \\ y= t-\dfrac{1}{t} \end{array} \right. （t為參數(shù)）

（1）將 C_1,C_2 的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 設(shè) C_1,C_2 的交點(diǎn)為 P，求圓心在極軸上，且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)和 P 的圓的極坐標(biāo)方程.

2020年全國(guó)三卷題22

在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為

\left\{ \begin{array}\\ x= 2-t-t^2 \\ y= 2-3t +t^2 \end{array} \right. （t 為參數(shù)且 t \ne 1）， C 與坐標(biāo)軸交于 A,B 兩點(diǎn).

（1）求 |AB|；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線 AB 的極坐標(biāo)方程.

2021年全國(guó)甲卷題22

在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 \rho=2\sqrt{2} cos\theta

（1）將 C 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn) A 的直角坐標(biāo)為 (1,0), M 為 C 上的動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn) P 滿足 \overrightarrow {AP}=\sqrt{2} \;\overrightarrow {AM}，寫(xiě)出 P 的軌跡 C_1 的參數(shù)方程，并判斷 C 與 C_1是否有公共點(diǎn).

2021年全國(guó)乙卷題22

在直角坐標(biāo)系 xOy 中，\odot C 的圓心為 C(2,1) ，半徑為 1.

（1）寫(xiě)出 \odot C 的一個(gè)參數(shù)方程；
（2）過(guò)點(diǎn) F(4,1) 作 \odot C 的兩條切線. 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程.

2022年全國(guó)甲卷題22

在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C_1的參數(shù)方程為

\left\{ \begin{array}\\ x= \dfrac{2+t}{6} \\ y= \sqrt{t} \end{array} \right.（t為參數(shù)），

曲線 C_2的參數(shù)方程為

\left\{ \begin{array}\\ x= - \dfrac{2+s}{6} \\ y= \sqrt{s} \end{array} \right.（ s 為參數(shù)），

（1）寫(xiě)出 C_1 的普通方程；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C_3 的極坐標(biāo)方程為 2\cos\theta-\sin\theta=0 ，求 C_3 與 C_1 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及 C_3 與 C_2 交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

2022年全國(guó)乙卷題22

在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為\left\{ \begin{array}\\ x=\sqrt{3} \cos 2t \\ y=2\sin t \end{array} \right.（ t為參數(shù)）.

以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線 l 的極坐標(biāo)方程為 \rho\sin(\theta+\dfrac{\pi}{3})+m=0 .

（1）寫(xiě)出 l 的直角坐標(biāo)方程；
（2）若 l 與 C 有公共點(diǎn)，求 m 的取值范圍.

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