1, 向量
2, 矩陣
3, 歐拉角
4, 四元數(shù)
5, 坐標(biāo)系變換
6, 齊次坐標(biāo)與透視變換的推導(dǎo)
- 齊次坐標(biāo)
向量和點(diǎn)在同一個(gè)基下就有不同的表達(dá)：3D向量的第4個(gè)代數(shù)分量是0，而3D點(diǎn)的第4個(gè)代數(shù)分量是1。像這種這種用4個(gè)代數(shù)分量表示3D幾何概念的方式是一種齊次坐標(biāo)表示。
"齊次坐標(biāo)表示是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要手段之一，它既能夠用來(lái)明確區(qū)分向量和點(diǎn)，同時(shí)也更易用于進(jìn)行仿射（線性）幾何變換。"-- F.S. Hill, JR
- 透視變換
透視投影變換由兩步組成：
1） 裁剪: 用透視變換矩陣把頂點(diǎn)從視錐體中變換到裁剪空間的CVV中
2） 透視除法: CVV裁剪完成后進(jìn)行透視除法
- 推導(dǎo)
http://blog.sina.com.cn/s/blog_74eb759d0100odej.html
http://blog.sina.com.cn/s/blog_74eb759d0100ogsd.html
7,仿射變換矩陣
計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛的變換是一種稱為仿射變換的特殊變換，在仿射變換中的基本變換包括平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、剪切這幾種
- 繞X軸旋轉(zhuǎn)
在三維場(chǎng)景中，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)P(x,y,z)繞x軸旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P’(x’,y’,z’)。由于是繞x軸進(jìn)行的旋轉(zhuǎn)，因此x坐標(biāo)保持不變，y和z組成的yoz（o是坐標(biāo)原點(diǎn)）平面上進(jìn)行的是一個(gè)二維的旋轉(zhuǎn)，可以參考上圖（y軸類似于二維旋轉(zhuǎn)中的x軸，z軸類似于二維旋轉(zhuǎn)中的y軸），于是有：
x′=x
y′=ycosθ?zsinθ
z′=ysinθ+zcosθ
寫(xiě)成（4x4）矩陣的形式 :
Snip20170914_5.png
- 繞Y軸旋轉(zhuǎn)
繞Y軸的旋轉(zhuǎn)和繞X軸的旋轉(zhuǎn)類似，Y坐標(biāo)保持不變，除Y軸之外，ZOX組成的平面進(jìn)行一次二維的旋轉(zhuǎn)（Z軸類似于二維旋轉(zhuǎn)的X軸，X軸類似于二維旋轉(zhuǎn)中的Y軸，注意這里是ZOX，而不是XOZ，觀察上圖中右手系的圖片可以很容易了解到這一點(diǎn)），同樣有：
x′=zsinθ+xcosθ
y′=y
z′=zcosθ?xsinθ
寫(xiě)成（4x4）矩陣的形式 :
Snip20170914_6.png
- 繞Z軸旋轉(zhuǎn)
與上面類似，繞Z軸旋轉(zhuǎn)，Z坐標(biāo)保持不變，xoy組成的平面內(nèi)正好進(jìn)行一次二維旋轉(zhuǎn)（和上面討論二維旋轉(zhuǎn)的情況完全一樣）
- 推導(dǎo)過(guò)程
7,世界坐標(biāo)變換要先縮放、后旋轉(zhuǎn)、再平移的原因
一個(gè)三維場(chǎng)景中的各個(gè)模型一般需要各自建模，再通過(guò)坐標(biāo)變換放到一個(gè)統(tǒng)一的世界空間的指定位置上。 這個(gè)過(guò)程在 3D 圖形學(xué)中稱作“世界變換” 。 世界變換有三種，平移、旋轉(zhuǎn)和縮放 (實(shí)際還有不常用的扭曲和鏡像，它們不是affine變換)。 這三種變換按各種順序執(zhí)行，結(jié)果是不同的。 可是實(shí)際的應(yīng)用中一般按照 縮放 -> 旋轉(zhuǎn) -> 平移的順序進(jìn)行。 這樣做的原因是可以獲得最符合常理的變換結(jié)果。
比方說(shuō)，通過(guò)世界變換希望獲得的結(jié)果可能是：
將一個(gè)放在原點(diǎn)的物體（比方說(shuō)可樂(lè)罐）移動(dòng)到（30，50），讓它自身傾斜 45 度，再放大 2 倍。
而不希望的結(jié)果是：
和本地坐標(biāo)軸成角度的縮放（會(huì)導(dǎo)致扭曲，像踩扁的可樂(lè)罐）。
繞自己幾何中心以外位置的原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn) （地球公轉(zhuǎn)式） 和縮放。
而顛倒了上述變換順序就會(huì)得到這樣不自然的結(jié)果。
具體的說(shuō)：
當(dāng)縮放在旋轉(zhuǎn)之后進(jìn)行時(shí)，會(huì)發(fā)生現(xiàn)象1。
當(dāng)縮放和旋轉(zhuǎn)在平移之后進(jìn)行時(shí)會(huì)發(fā)生現(xiàn)象2。
這時(shí)因?yàn)椋?br> 在物體剛剛放入世界坐標(biāo)系的時(shí)候使用的是本地坐標(biāo)，也就是本地和全局坐標(biāo)系的原點(diǎn)和坐標(biāo)軸都是重合的（當(dāng)然兩者分別使用了左右手坐標(biāo)系時(shí)除外 - 那是BUG），此時(shí)所有物體都“把世界坐標(biāo)系當(dāng)做自己的本地坐標(biāo)系”。
而經(jīng)過(guò)了坐標(biāo)變換之后：
縮放變換不改變坐標(biāo)軸的走向，也不改變?cè)c(diǎn)的位置，所以兩個(gè)坐標(biāo)系仍然重合。
旋轉(zhuǎn)變換改變坐標(biāo)軸的走向，但不改變?cè)c(diǎn)的位置，所以兩個(gè)坐標(biāo)系坐標(biāo)軸不再處于相同走向。
平移變換不改變坐標(biāo)軸走向，但改變?cè)c(diǎn)位置，兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)不再重合。
這樣就可以解釋問(wèn)什么縮放不能在旋轉(zhuǎn)之后，而縮放和旋轉(zhuǎn)都不能在平移之后了。 于是沒(méi)有問(wèn)題的順序只能是 縮放 -> 旋轉(zhuǎn) -> 平移 。
